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高等数学课件--第十二章微分方程12-8常系数齐次线性微分方程目录•引言•常系数齐次线性微分方程的解法•常系数齐次线性微分方程的解的性质•常系数齐次线性微分方程的应用实例•习题与解答01引言Chapter微分方程的定义与分类微分方程包含未知函数及其导数的方程分类根据未知函数、导数和方程的性质,微分方程可以分为多种类型,如线性微分方程、非线性微分方程、齐次和非齐次微分方程等常系数齐次线性微分方程的特性01020304常系数齐次线性解法方程中的导数项的系方程中的未知函数及方程中的未知函数及常系数齐次线性微分数为常数其导数的次数相等其导数满足线性关系方程可以通过特征根法、分离变量法等求解微分方程的应用背景物理问题微分方程在物理领域中有着广泛的应用,如力学、电磁学等工程问题在工程领域中,微分方程被广泛应用于控制工程、信号处理等领域经济问题在经济学中,微分方程被用于描述经济系统的动态变化,如供需关系、经济增长等02常系数齐次线性微分方程的解法Chapter特征方程的求解定义求解方法特征方程是一元二次方程,其解对应于微分方通过对方程进行因式分解或使用公式法求解特程的解的性质征方程举例对于特征方程$r^2+4r+3=0$,可分解为$r+1r+3=0$,解得$r=-1$和$r=-3$方程解的表达式定义01方程解的表达式是根据特征根得到的微分方程解的通解公式求解方法02根据特征根代入通解公式,得到微分方程的解举例03对于特征根$r=-1$和$r=-3$,代入通解公式$y=e^{r_1*x}C_1+C_2x$,得到$y=e^{-x}C_1+C_2x$解的性质与讨论解的性质常系数齐次线性微分方程的解具有指数形式,且与特征根有关解的讨论根据特征根的不同情况,对解的性质进行分类讨论,如实根、重根、共轭复根等应用举例在物理、工程、经济等领域中,常系数齐次线性微分方程的应用广泛,如振动问题、电路分析、种群增长模型等03常系数齐次线性微分方程的解的性质Chapter解的稳定性定义如果常系数齐次线性微分方程的解在某个初始条件下保持恒定或趋于零,则称该解是稳定的分类根据解的稳定性,可以分为线性稳定和非线性稳定判定方法通过分析微分方程的解的性质,判断其是否满足稳定性条件解的振荡性分类根据振荡行为的性质,可以分为周期振荡和非周期定义振荡如果常系数齐次线性微分方程的解在某个初始条件下表现出周期性或非周期性的振荡行判定方法为,则称该解具有振荡性通过分析微分方程的解的性质,判断其是否满足振荡性条件解的周期性定义如果常系数齐次线性微分方程的解在某个初始条件下表现出周期性行为,则称该解具有周期性分类根据周期的性质,可以分为简单周期和复杂周期判定方法通过分析微分方程的解的性质,判断其是否满足周期性条件04常系数齐次线性微分方程的应用实例Chapter物理问题中的应用振荡器问题波动问题常系数齐次线性微分方程可以用来描述物理中的振在物理中,波动是一种常见的现象,例如声波和光荡器运动,例如弹簧振荡器和阻尼振荡器等通过波常系数齐次线性微分方程可以用来描述波动传解微分方程,可以求出振荡器的位移、速度和加速播的过程,通过解微分方程可以得出波的传播速度、度等物理量波形和振动频率等物理量经济问题中的应用供需模型在经济学中,供需关系是决定市场价格的重要因素常系数齐次线性微分方程可以用来描述供需变化的过程,通过解微分方程可以预测市场价格的走势和供需平衡点的变化投资回报模型在金融领域,投资回报是投资者关注的重点常系数齐次线性微分方程可以用来描述投资回报的变化过程,通过解微分方程可以预测未来投资回报的趋势和风险生物问题中的应用种群动态在生态学中,种群动态是研究物种生存和繁衍的重要方面常系数齐次线性微分方程可以用来描述种群数量的变化过程,通过解微分方程可以预测种群的增长率和数量变化趋势传染病传播在流行病学中,传染病传播是重要的研究领域常系数齐次线性微分方程可以用来描述传染病传播的过程,通过解微分方程可以预测疾病的传播趋势和疫情的发展情况05习题与解答Chapter基础习题基础习题1求解一阶常系数齐次线性微分方程$y+pxy=0$,其中$px$是连续函数基础习题2求解二阶常系数齐次线性微分方程$y+qxy+rxy=0$,其中$qx$和$rx$是连续函数进阶习题进阶习题1进阶习题2求解高阶常系数齐次线性微分方程求解非齐次线性微分方程$y+pxy=$y^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+cdots+fx$,其中$px$和$fx$是连续函数a_1y+a_0y=0$,其中$a_0,a_1,VSldots,a_{n-1}$是常数习题答案与解析基础习题1答案基础习题1解析$y=e^{-int pxdx}$通过分离变量法,将方程转化为$e^{-intpxdx}=C$,其中$C$是积分常数习题答案与解析•基础习题2答案$y=e^{-\int\frac{qx}{rx}dx}\cdot\left[C_1\cos\left\int\sqrt{rx}dx\right+C_2\sin\left\int\sqrt{rx}dx\right\right]$习题答案与解析•基础习题2解析利用常数变易法和分离变量法,将方程转化为上述形式习题答案与解析进阶习题答案与解析进阶习题1答案$y=e^{-int frac{a_{n-1}}{a_n}dx}cdot left[C_1cosleftint frac{sqrt{a_n}}{a_{n-1}}dxright+C_2sinleftint frac{sqrt{a_n}}{a_{n-1}}dxrightright]$习题答案与解析进阶习题1解析利用常数变易法和分离变量法,将方程转化为上述形式进阶习题2答案进阶习题2解析$y=e^{int px-qxdx}cdot int利用常数变易法和分部积分法,将方程转化e^{int qxdx}fx dx+C$为上述形式THANKS感谢观看。