高中数学：21《平面向量的概念及表示》课件必修

高中数学21《平面向量的概念及表示》课件必修•平面向量的概念•平面向量的基本定理•平面向量的数量积•平面向量的向量积•平面向量的向量混合积01平面向量的概念向量的定义总结词向量是一种具有大小和方向的量，表示为一条有向线段详细描述向量是具有大小和方向的量，通常用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的模，箭头表示向量的方向在数学中，向量常用大写字母表示，如A、B、C等向量的模总结词向量的模是指向量的大小或长度详细描述向量的模也称为向量的长度或大小，表示为|a|，其中a是一个向量向量的模是通过勾股定理计算得出的，即|a|=√x^2+y^2，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的分量向量的表示方法总结词向量可以用坐标形式和几何形式两种方式表示详细描述向量的坐标形式是指在直角坐标系中，向量可以用实数对x,y表示，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的分量向量的几何形式则是指通过有向线段来表示向量，其中起点为原点O，终点为点Ax,y02平面向量的基本定理向量的加法•总结词向量加法的定义和性质•详细描述向量加法是平面向量的基本运算之一，它遵循平行四边形法则或三角形法则向量加法的定义是，对于任意两个向量$\overset{\longrightarrow}{A}$和$\overset{\longrightarrow}{B}$，它们的和向量$\overset{\longrightarrow}{C}$等于从起点$O$出发，沿$\overset{\longrightarrow}{A}$和$\overset{\longrightarrow}{B}$的方向移动，并终止于点$P$的向量向量加法满足交换律和结合律，即$\overset{\longrightarrow}{A}+\overset{\longrightarrow}{B}=\overset{\longrightarrow}{B}+\overset{\longrightarrow}{A}$，并且$\overset{\longrightarrow}{A}+\overset{\longrightarrow}{B}+\overset{\longrightarrow}{C}=\overset{\longrightarrow}{A}+\overset{\longrightarrow}{B}+\overset{\longrightarrow}{C}$向量的数乘要点一要点二总结词详细描述数乘的定义和性质数乘是平面向量的另一种基本运算，它通过与实数相乘来改变向量的长度和方向数乘的定义是，对于任意实数$k$和向量$overset{longrightarrow}{A}$，它们的数乘$koverset{longrightarrow}{A}$是一个新的向量，其长度为$|k|times|overset{longrightarrow}{A}|$，方向与$overset{longrightarrow}{A}$相同或相反，取决于$k$的正负数乘满足分配律，即$kmoverset{longrightarrow}{A}=kmoverset{longrightarrow}{A}$，其中$m$是实数此外，数乘还满足结合律和单位元性质，即$1timesoverset{longrightarrow}{A}=overset{longrightarrow}{A}$向量的减法•总结词向量减法的定义和性质•详细描述向量减法是通过将一个向量的起点平移到另一个向量的终点来得到一个新的向量向量减法的定义是，对于任意两个向量$\overset{\longrightarrow}{A}$和$\overset{\longrightarrow}{B}$，它们的差向量$\overset{\longrightarrow}{A}-\overset{\longrightarrow}{B}$等于从起点$O$出发，沿$\overset{\longrightarrow}{A}$的方向移动，并终止于点$P$的向量向量减法满足反交换律，即$\overset{\longrightarrow}{A}-\overset{\longrightarrow}{B}=-\overset{\longrightarrow}{B}+\overset{\longrightarrow}{A}$此外，向量减法还满足结合律，即$\overset{\longrightarrow}{A}-\overset{\longrightarrow}{B}-\overset{\longrightarrow}{C}=\overset{\longrightarrow}{A}-\overset{\longrightarrow}{B}+\overset{\longrightarrow}{C}$03平面向量的数量积数量积的定义数量积的定义数量积的运算性质两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义数量积满足交换律、分配律和结合律，即$mathbf{a}为$mathbf{a}cdot mathbf{b}=|mathbf{a}|times cdot mathbf{b}=mathbf{b}cdot mathbf{a}$，|mathbf{b}|times cos theta$，其中$theta$是$lambdamathbf{a}cdot mathbf{b}=$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角lambdamathbf{a}cdot mathbf{b}=mathbf{a}cdot lambdamathbf{b}$和$mathbf{a}+mathbf{b}cdot mathbf{c}=mathbf{a}cdotmathbf{c}+mathbf{b}cdot mathbf{c}$数量积的几何意义数量积的几何意义两个向量的数量积等于它们在正方向上的投影的乘积具体来说，如果$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角为$theta$，则$mathbf{a}cdot mathbf{b}=|mathbf{a}|times|mathbf{b}|times costheta$数量积与夹角的关系两个向量的夹角可以通过数量积来计算，即$costheta=frac{mathbf{a}cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}|times|mathbf{b}|}$数量积的运算律•数量积的运算律两个向量的数量积满足交换律、分配律和结合律交换律是指$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}$，分配律是指$\lambda\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lambda\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot\lambda\mathbf{b}$，结合律是指$\mathbf{a}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}$04平面向量的向量积向量积的定义向量积的定义向量积是一个向量运算，它由两个向量$overset{longrightarrow}{A}$和$overset{longrightarrow}{B}$通过点乘和叉乘得到，记作$overset{longrightarrow}{A}times overset{longrightarrow}{B}$定义公式$overset{longrightarrow}{A}times overset{longrightarrow}{B}=|overset{longrightarrow}{A}|cdot|overset{longrightarrow}{B}|cdot sintheta$，其中$theta$为$overset{longrightarrow}{A}$和$overset{longrightarrow}{B}$之间的夹角向量积的几何意义向量积的几何意义向量积表示一个向量，其方向垂直于作为运算对象的两个向量，并且其模长等于两个向量的模长乘积与它们夹角的正弦值的乘积几何意义的应用在解析几何中，向量积常用于表示向量的旋转和方向变化，以及解决与向量相关的问题向量积的运算律交换律$overset{longrightarrow}{A}times overset{longrightarrow}{B}=overset{longrightarrow}{B}timesoverset{longrightarrow}{A}$结合律$overset{longrightarrow}{A}+overset{longrightarrow}{C}times overset{longrightarrow}{B}=overset{longrightarrow}{A}times overset{longrightarrow}{B}+overset{longrightarrow}{C}timesoverset{longrightarrow}{B}$分配律$lambdaoverset{longrightarrow}{A}times overset{longrightarrow}{B}=lambdaoverset{longrightarrow}{A}times overset{longrightarrow}{B}$，其中$lambda$为标量05平面向量的向量混合积向量混合积的定义总结词详细描述向量混合积是三个向量的数量积的展开形式向量混合积是三个向量的一种运算，其结果是一个标量而非向量具体地，对于向量$mathbf{a},mathbf{b},mathbf{c}$，向量混合积定义为$mathbf{a}cdotmathbf{b}times mathbf{c}=mathbf{b}cdot mathbf{c}times mathbf{a}=mathbf{c}cdot mathbf{a}timesmathbf{b}$向量混合积的几何意义总结词向量混合积表示以三个向量为邻边的平行六面体的体积详细描述向量混合积的几何意义非常直观考虑三个向量$mathbf{a},mathbf{b},mathbf{c}$，它们所围成的平行六面体的体积等于向量$mathbf{a}$、$mathbf{b}$和$mathbf{c}$的混合积的绝对值向量混合积的运算律总结词详细描述向量混合积满足交换律和结合律根据向量混合积的定义和性质，我们可以证明向量混合积满足交换律和结合律这意味着$mathbf{a}cdotmathbf{b}times mathbf{c}=mathbf{b}cdotmathbf{c}times mathbf{a}=mathbf{c}cdotmathbf{a}times mathbf{b}$，以及$mathbf{a}+mathbf{b}cdot mathbf{c}times mathbf{d}=mathbf{a}cdot mathbf{c}times mathbf{d}+mathbf{b}cdotmathbf{c}times mathbf{d}$THANKS感谢观看。