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高等数学微积分课件--84多元复合微分法隐函数微分法目录•多元复合微分法•隐函数微分法•多元复合微分法的应用•习题与解答01多元复合微分法多元复合函数的导数多元复合函数的导数定义设$u=fx,y,z$,其中$x,y,z$是自变量,$u$是1因变量,则$u$关于$x,y,z$的偏导数和全导数偏导数的计算对于复合函数$u=fx,y,z$,求偏导数2$frac{partial u}{partial x}$,需要将$x$看作自变量,而将$y,z$看作常数全导数的计算对于复合函数$u=fx,y,z$,全导数3$frac{du}{dx}$表示$u$关于$x$的瞬时变化率链式法则链式法则的基本思想如果两个函数的取值都是另一个函数的自变量,则这两个函数的导数之间存在一定的关系,即链式法则链式法则的应用链式法则是解决多元复合函数求导问题的重要工具,通过链式法则可以方便地计算出复合函数的导数全导数与偏导数全导数的定义偏导数的定义全导数表示一个多元函数在所有自变量上的变偏导数表示一个多元函数在某一自变量上的变化率化率全导数与偏导数的联系全导数是偏导数的综合表现,而偏导数是全导数的特例02隐函数微分法隐函数的导数定义计算方法应用如果一个函数在某点的某邻域内,对隐函数进行求导,可以使用链隐函数的导数在解决一些实际问对于该点的任何一个邻域内的点,式法则和乘积法则等微积分基本题中非常有用,例如在物理、工其函数值都满足某个方程,则称法则进行计算程和经济等领域中该函数在该点处是隐函数隐函数与方程组的导数定义如果一个方程组中的所有方程都是隐函数,则称该方程组为隐函数组计算方法对隐函数组进行求导,需要使用全导数和方向导数的概念,同时需要注意各个变量之间的相互影响应用隐函数组在解决一些实际问题中非常有用,例如在化学和生物学等领域中隐函数与参数方程的导数定义参数方程是一种特殊的方程形式,其中变量之间的关系是通过参数来表达的如果一个参数方程可以转化为隐函数的形式,则称该参数方程为隐函数参数方程计算方法对隐函数参数方程进行求导,需要使用参数方程的求导法则和隐函数的求导法则进行计算应用隐函数参数方程在解决一些实际问题中非常有用,例如在几何和物理学等领域中03多元复合微分法的应用几何应用曲线和曲面的切线与法线01多元复合微分法可以用来求取曲线和曲面的切线与法线,这在几何学中有着广泛的应用曲面的面积02通过多元复合微分法,可以计算曲面的面积,这对于几何学中的面积计算和表面积计算非常重要空间距离03多元复合微分法可以用来计算空间中两点之间的距离,这在几何学中有着广泛的应用物理应用电磁学在电磁学中,多元复合微分法可以用来求解复杂的力学电磁场问题,例如电场强度、磁场强度等在物理学的力学领域,多元复合微分法可以用来解决复杂的运动学和动力学问题,例如热力学计算物体的速度、加速度等在热力学中,多元复合微分法可以用来求解复杂的热传导问题,例如温度分布、热量传递等经济应用供需关系在经济学中,多元复合微分法可以用来分析复杂的供需关01系,例如求解最优价格、最优产量等0203投资组合优化经济增长与平衡多元复合微分法可以用来求解投资组合在经济增长模型中,多元复合微分法优化问题,例如在给定风险和收益约束可以用来分析经济增长的动态过程,下,如何最优地分配资产例如长期经济增长的路径和稳定性04习题与解答习题$z=frac{x^2}{y}$03$z=x^2+2y^2$02计算下列各函数的偏导数01习题$z=sqrt{x^2+y^2}$求下列函数的极值$fx,y=x^2+y^2$习题$fx,y=xy$$fx,y=frac{x^2}{y}$解答010203对于第一个函数$z=x^2+$frac{partial z}{partial x}=$frac{partial z}{partial y}=2y^2$,偏导数为2x$4y$解答01对于第二个函数$z=frac{x^2}{y}$,偏导数为02$frac{partial z}{partial x}=frac{2xy}{y^2}=frac{2x}{y}$03$frac{partial z}{partial y}=-frac{x^2}{y^2}$解答01对于第三个函数$z=sqrt{x^2+y^2}$,偏导数为02$frac{partial z}{partial x}=frac{x}{sqrt{x^2+y^2}}$03$frac{partial z}{partial y}=frac{y}{sqrt{x^2+y^2}}$解答对于第一个函数$fx,y=x^2+y^2$,极值为当$x=0,y=0$时,取得极小值0对于第二个函数$fx,y=xy$,极值为解答010203当$x=1,y=1$时,取得对于第三个函数$fx,y当$x=0,y0$时,取得极大值1=frac{x^2}{y}$,极值极小值0为。