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高考数学复习课件平面与空间向量第4课时平面向量的数量积目录•平面向量数量积的定义与性质•平面向量数量积的运算•平面向量数量积的应用•典型例题解析•练习题与答案01平面向量数量积的定义与性质定义总结词平面向量数量积的定义详细描述平面向量数量积是两个非零向量的模的乘积与这两个向量夹角的余弦值的乘积,记作数量积或点积数学表达式为a·b=|a|·|b|·cosθ,其中a和b是非零向量,|a|和|b|分别是向量a和b的模,θ是向量a和b的夹角性质总结词非负性分配性平面向量数量积的性质a·b≥0,当且仅当a与ba+b·c=a·c+b·c;同向共线时取等号;正交性详细描述对称性a·b=0当且仅当a与b正平面向量数量积具有以下a·b=b·a;交(即夹角为90°)性质几何意义总结词平面向量数量积的几何意义详细描述平面向量数量积的几何意义是表示两个向量在方向上的相似程度具体来说,如果两个非零向量a和b的夹角为θ,那么它们的数量积a·b等于|a|和|b|在θ角方向上的投影的乘积因此,当两个向量同向共线时,它们的数量积最大;当两个向量正交时,它们的数量积为002平面向量数量积的运算线性运算线性运算包括加法、数乘和减向量加法满足平行四边形法则线性运算具有交换律、结合律法,是向量运算中最基本的运或三角形法则,数乘满足实数和数乘的分配律,这些性质在算与向量的乘法结合律和分配律解决向量问题时非常有用数量积的坐标运算数量积的坐标运算是基于向量的坐标表示进行的,通过向量的坐标可以方便地计算出向量的数量积设向量$overset{longrightarrow}{a}=x_{1},y_{1}$,$overset{longrightarrow}{b}=x_{2},y_{2}$,则$overset{longrightarrow}{a}cdot overset{longrightarrow}{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$坐标运算在解决实际问题时非常有用,例如在物理中的力矩、功等计算中都会用到向量模长与数量积的关系•向量的模长是指向量的长度或大小,记作$|\overset{\longrightarrow}{a}|$•向量的数量积与模长之间有关系$|\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}{b}|\leq|\overset{\longrightarrow}{a}|\cdot|\overset{\longrightarrow}{b}|$,即两向量的数量积的模长小于或等于两向量模长的乘积•这个性质在解决向量问题时非常有用,例如在判断向量的夹角范围或解决最值问题时都会用到03平面向量数量积的应用在三角形中的应用判断三角形的形状通过计算三角形的两边向量的数量计算角度积,可以判断三角形是等腰三角形、等边三角形还是直角三角形利用平面向量的数量积,可以计算三角形中的角度,如已知两个向量的夹角和大小,可以求出第三个向量的大小和夹角求解三角形面积利用向量的数量积,可以求解三角形的面积,特别是当已知三角形的两边和夹角时,这种方法非常方便在物理中的应用力的合成与分解功和功率在物理中,力的合成与分解可以通过在分析力学问题时,平面向量的数量平面向量的数量积来实现,从而计算积可以用于计算力对物体做的功或功出合力或分力的大小和方向率速度和加速度平面向量的数量积可以用于计算物体的速度和加速度,特别是在分析曲线运动和抛体运动时非常有用在实际生活中的应用力的平衡在建筑、机械等领域中,利用平面向量的数量积可以判断物体是否处于平衡状态,以及如何调整力的方向和大小以实现平衡导航在航空、航海和陆地导航中,平面向量的数量积可以用于计算方向、速度和加速度等参数,从而确定物体的位置和航行轨迹04典型例题解析基础题型总结词考察平面向量数量积的基本题目1已知向量题目2已知向量概念和运算规则$overset{longrightarrow}{a}$与$overset{longrightarrow}{a}$与$overset{longrightarrow}{b}$的夹$overset{longrightarrow}{b}$的夹角为$theta$,且角为$theta$,且$|overset{longrightarrow}{a}|=$|overset{longrightarrow}{a}|=2,|overset{longrightarrow}{b}|=2,|overset{longrightarrow}{b}|=3$,若$overset{longrightarrow}{a}3$,若$overset{longrightarrow}{a}cdot overset{longrightarrow}{b}=cdot overset{longrightarrow}{b}=|overset{longrightarrow}{a}|cdot|overset{longrightarrow}{a}|cdot|overset{longrightarrow}{b}|costh|overset{longrightarrow}{b}|costheta$,则$theta$的值为____eta$,则$costheta$的值为____综合题型总结词考察平面向量数量积与其他题目1在三角形ABC中,已知题目2在三角形ABC中,已知知识点的结合运用$overset{longrightarrow}{AB}cdot$overset{longrightarrow}{AB}cdotoverset{longrightarrow}{AC}=overset{longrightarrow}{AC}=|overset{longrightarrow}{AB}|cdot|overset{longrightarrow}{AB}|cdot|overset{longrightarrow}{AC}|cos|overset{longrightarrow}{AC}|cosA$,若$cos A=-frac{11}{14}$,A$,若$sin A=frac{5sqrt{3}}{7}$,则A的度数为____则A的度数为____创新题型总结词考察平面向量数量积在解决实际问题中的应用题目1一艘船以速度v向北航行,途中遇到一股自西向东的风速为v的风,船帆受到风力而倾斜,若船帆与水平方向的夹角为$theta$,则风对船帆的作用力大小为____题目2一架飞机以速度v向北飞行,途中遇到一股自西向东的风速为v的风,飞机受到风力而倾斜,若飞机与水平方向的夹角为$theta$,则风对飞机的作用力大小为____05练习题与答案练习题题目1已知向量$overset{longrightarrow}{a}=1,2$,$overset{longrightarrow}{b}=-2,3$,则向量$overset{longrightarrow}{a}$与$overset{longrightarrow}{b}$的夹角为____.题目2已知向量$overset{longrightarrow}{a}=1,2$,$overset{longrightarrow}{b}=-2,3$,则向量$overset{longrightarrow}{a}$在向量$overset{longrightarrow}{b}$上的投影为____.答案解析•题目1解析首先,我们需要计算向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的模长根据模长的定义,有$|\overset{\longrightarrow}{a}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$,$|\overset{\longrightarrow}{b}|=\sqrt{-2^2+3^2}=\sqrt{13}$然后,我们计算向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的数量积$\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}{b}=1\times-2+2\times3=4$最后,根据夹角的余弦公式,有$\cos\overset{\longrightarrow}{a},\overset{\longrightarrow}{b}=\frac{\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}{b}}{|\overset{\longrightarrow}{a}|\cdot|\overset{\longrightarrow}{b}|}=\frac{4}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{13}}=\frac{4\sqrt{65}}{65}$因此,向量$\overset{\longrightarrow}{a}$与$\overset{\longrightarrow}{b}$的夹角为$arccos\frac{4\sqrt{65}}{65}$•题目2解析首先,我们计算向量$\overset{\longrightarrow}{a}$在向量$\overset{\longrightarrow}{b}$上的投影长度根据投影的定义,有$Proj_{\overset{\longrightarrow}{b}}\overset{\longrightarrow}{a}=\frac{\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}{b}}{|\overset{\longrightarrow}{b}|}=\frac{4}{\sqrt{13}}=\frac{4\sqrt{13}}{13}$因此,向量$\overset{\longrightarrow}{a}$在向量$\overset{\longrightarrow}{b}$上的投影为$\frac{4\sqrt{13}}{13}$THANKS感谢观看。