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高考数学一轮复习课件复合函数的导数•复合函数导数的基本概念CONTENTS目录•复合函数的求导法则•复合函数导数的应用•高考真题解析•练习题及答案解析CHAPTER01复合函数导数的基本概念复合函数的定义总结词理解复合函数的概念是掌握复合函数导数的基础详细描述复合函数是由两个或多个函数的组合而成的函数简单来说,如果函数y=fu和函数u=gx存在,且gx有定义域和值域,那么由这两个函数可以组成一个新的函数y=fgx,这就是一个复合函数复合函数的导数定义总结词掌握复合函数的导数定义是求解复合函数导数的关键详细描述复合函数的导数定义为“链式法则”,即若y=fu和u=gx,则y对x的导数等于fu乘以gx具体地,dy/dx=dy/du*du/dx复合函数导数的基本性质总结词理解并掌握复合函数导数的基本性质是解决相关问题的关键详细描述
1.线性性质若y=fu和u=αx+β,则dy/dx=fu*α这是因为线性函数的导数是常数,不改变原函数的导数
2.幂函数的性质若y=fu是幂函数,u=x^n,则dy/dx=nu^n-1*fu这是由于幂函数的导数等于基数乘以指数
3.常数性质若y=fu和u=c(常数),则dy/dx=0因为常数的导数是0CHAPTER02复合函数的求导法则链式法则应用场景当一个复合函数由多个函数嵌套而链式法则成时,链式法则是求导的关键对于复合函数$fgx$,其导数为$fgx cdotgx$示例若$fx=sinx^2$,则$fx=2xcosx^2$乘积法则010203乘积法则应用场景示例对于两个函数的乘积,其当需要求两个函数乘积的若$ux=x^2,ux=导数为$uv=uv+导数时,使用乘积法则2x$且$vx=sin x,vxuv$=cos x$,则$uv=2xsin x+x^2cos x$商的导数法则商的导数法则应用场景示例对于两个函数的商,其导数为当需要求两个函数商的导数时,若$ux=x^2,ux=2x$且$frac{uv-uv}{v^2}$使用商的导数法则$vx=sin x,vx=cos x$,则$frac{u}{v}=frac{x^2}{sinx}$的导数为$frac{2xcos x-x^2cos x}{sin^2x}$复合函数的高阶导数高阶导数应用场景示例对复合函数进行多次求导,在研究函数的极值、拐点若$fx=x^3$,则$fx直到得到所需阶数的导数或解决某些复杂问题时,=6x$,表示二阶导数为需要用到高阶导数6xCHAPTER03复合函数导数的应用利用导数研究函数的单调性单调性判定通过求导数并分析导数的正负,可以判断函数在某区间内的单调性当导数大于0时,函数在该区间内单调递增;当导数小于0时,函数在该区间内单调递减单调性证明对于一些复杂的函数,可以通过求导并分析导数的符号变化来证明函数的单调性利用导数研究函数的极值和最值极值判定当函数在某一点的导数为0,且该点两侧的导数符号发生变化时,该点为函数的极值点在极值点处,函数取得局部最大值或最小值最值求解通过求导数并找到极值点,可以确定函数的最值此外,还可以结合函数的定义域和单调性,进一步确定函数的最值导数在实际问题中的应用速度与加速度在物理中,速度和加速度是时间的导数,通过求导可以研究物体的运动状态和变化规律边际分析在经济领域,导数可以用于分析边际成本、边际收益和边际利润等经济指标,帮助企业制定最优的生产和销售策略优化问题在生产和生活中,经常遇到一些需要优化的问题,如最小化运输成本、最大化利润等通过求导数并分析导数的符号变化,可以找到最优解CHAPTER04高考真题解析历年高考真题回顾2015年高考数学真题2017年高考数学真题求函数$fx=x^2+2x$在点$x=求函数$fx=x^3+2x$在点$x=-1$处的导数1$处的导数2016年高考数学真题求函数$fx=x^3+3x^2+2x$在区间$0,2$内的导数高考真题解析方法解析方法一直接求导法根据复合函数的导数公式,直接对函数进行求导解析方法二链式法则将复合函数分解为简单函数的组合,分别求导后再相乘解析方法三乘积法则将复合函数分解为多个简单函数的乘积,分别求导后再相加高考真题的解题思路和技巧解题思路一解题技巧一明确题目要求,确定需要求导的函数和点或灵活运用复合函数的导数公式,简化求导过程区间解题思路二解题技巧二根据复合函数的导数公式,选择合适的解析方注意观察函数的性质和特点,选择合适的解析方法进行求导法进行求导解题思路三解题技巧三注意函数的定义域和导数的定义,确保求导过程在求导过程中,注意运算的准确性和规范性,避免出现和结果符合数学规则计算错误或遗漏CHAPTER05练习题及答案解析基础练习题题目1求函数$fx=x^3+2x^2+x$的导数题目2求函数$fx=sqrt{x}$的导数题目3求函数$fx=frac{1}{x}$的导数提高练习题题目401求函数$fx=x^2sin x$的导数题目502求函数$fx=lnx^2$的导数题目603求函数$fx=e^x cos x$的导数答案及解析答案1$fx=3x^2+4x+1$解析1利用多项式函数的导数公式,分别对每一项求导,然后合并同类项答案2$fx=frac{1}{2sqrt{x}}$答案及解析解析2利用幂函数的导数公式,对根号下的部分进行求1导答案3$fx=-frac{1}{x^2}$2解析3利用幂函数的导数公式,对分母进行求导3答案及解析答案4$fx=2xsin x+x^2cosx$解析4利用乘积法则,分别对每一项求导,然后合并同类项答案5$fx=frac{2}{x}$答案及解析解析5利用对数函数的导数公式,对内部进行求导答案6$fx=e^xcos x-e^xsin x$解析6利用乘积法则,分别对每一项求导,然后合并同类项THANKS感谢观看。