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文本内容:
高等数学下册-全微分ppt课件•全微分的定义目•全微分的计算•全微分的应用录•全微分与偏导数的关系•习题与解答CATALOGUE01CATALOGUE全微分的定义全微分的概念01全微分定义为函数在某点附近的小改变量与自变量改变量的线性组合的近似值02全微分是函数在某点处所有偏导数与自变量改变量的乘积之和03全微分表示函数在某点处对自变量变化的敏感程度全微分的几何意义全微分在几何上表示全微分在几何上表示曲面在某点处的切平函数图像在某点处的面切线斜率全微分的几何意义是函数图像在某点附近的小斜率全微分的性质全微分具有线性性质,即函数的和、差、积、商的全01微分分别等于各自全微分的和、差、积、商全微分具有连续性,即当函数在某点处可微时,其全02微分在该点连续全微分具有局部性,即全微分只在函数可微的点处有03意义,且与自变量的具体取值无关02CATALOGUE全微分的计算函数的全微分定义计算方法函数在某点的全微分是该函数在该点的微分的根据定义,全微分等于所有偏导数与相应变量线性主部的乘积之和几何意义全微分在几何上表示函数在该点的切线的增量参数方程形式的全微分定义参数方程形式的全微分是参数方程确定的函数在该点的微分的线性主部计算方法几何意义根据定义,全微分等于所有偏导数与相应参全微分在几何上表示曲线在该点的切线的增数的乘积之和量隐函数形式的全微分定义隐函数形式的全微分是隐函数在该点的微分的线性主部计算方法几何意义根据定义,全微分等于所有偏导数与相应变全微分在几何上表示曲面在该点的切平面的量的乘积之和增量03CATALOGUE全微分的应用近似计算泰勒公式01利用全微分,可以将复杂的函数表示为多项式逼近,即泰勒公式误差估计02通过全微分,可以估计多项式逼近的误差大小数值计算03在数值计算中,全微分可用于计算函数的近似值,例如牛顿迭代法极值问题极值的必要条件利用全微分,可以推导出极值的必要条件,即一阶导数为零的点极值的充分条件结合全微分和二阶导数,可以推导出判断极值点的充分条件多变量函数极值全微分在多变量函数的极值问题中也有重要应用曲线的切线与法平面切线方程通过全微分,可以求出曲线在任意一点的切线方程法平面方程利用全微分,可以求出曲线在任意一点的法平面方程切线与法平面的几何意义理解切线与法平面的几何意义有助于更好地理解全微分的应用04CATALOGUE全微分与偏导数的关系偏导数的几何意义01偏导数表示函数在某一点处沿某一方向的变化率02在二维平面上,偏导数可以解释为切线的斜率03在三维空间中,偏导数可以解释为切面的法线斜率全微分与偏导数的关系式全微分公式dz=frac{partial f}{partial x}dx+frac{partial f}{partial y}dy+frac{partial f}{partial z}dz全微分等于所有偏导数与自变量增量乘积的和全微分公式适用于多元函数的可微性,是微积分中的基本概念全微分的应用实例010203近似计算导数应用物理应用全微分可用于近似计算函数在某全微分与偏导数的关系可用于解全微分在物理中有广泛的应用,一点的增量决实际问题中的优化问题,如最如速度、加速度、电磁场等物理值问题、极值问题等量的计算05CATALOGUE习题与解答习题部分题目1计算函数$fx,y=x^2+y^2$在点$2,-3$的全微分题目2已知函数$fx,y=sinx+y$,求在点$1,frac{pi}{2}$的全微分题目3设函数$fx,y=x^2+2xy+y^2$,求在点$1,-1$的全微分答案部分答案2答案3答案1全微分为$df=22dx-全微分为$df=cosx+y1全微分为$df=21dx+2-23dy=4dx-6dy$+frac{pi}{2}dx$1dy+2-1dx+21dy=2dx-2dy$THANKS感谢观看。