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《函数的微分》ppt课件•引言•微分的概念•导数的概念•导数的计算目•导数的应用•微分的应用录contents01CATALOGUE引言微分的定义微分是函数在某一点的变化率的极限值,表示函数在该点附近的小变化它是一种局部线性逼近,通过微分可以近似计算函数在某点的切线斜率微分的重要性微分在数学、物理、工程等领域中有通过微分可以研究函数的单调性、极着广泛的应用,是解决实际问题的重值、拐点等性质,进而解决最优化问要工具题、求近似值等问题VS微分的历史背景微分的概念最早可以追溯到牛顿和莱布尼茨此后,柯西、黎曼等数学家对微积分学进行的时代,他们的工作为微积分学奠定了基础了深入的研究和发展,使其成为现代数学的重要分支02CATALOGUE微分的概念微分的定义总结词微分是函数在某一点的变化率,是函数在这一点附近的小增量详细描述微分是函数的一种数学概念,表示函数在某一点附近的小增量与自变量增量的比值,即函数在这一点上的变化率微分可以用来近似计算函数在某一点附近的数值变化微分的几何意义总结词微分的几何意义是函数图像在某一点上的切线斜率详细描述微分在几何上表示函数图像在某一点上的切线斜率切线斜率越大,函数在该点上的变化率越大;切线斜率越小,函数在该点上的变化率越小通过切线斜率可以了解函数在该点附近的变化趋势微分的基本性质总结词微分具有线性性质、可加性、可乘性、可微性等基本性质详细描述微分具有一系列的基本性质,包括线性性质、可加性、可乘性和可微性等这些性质表明,微分运算满足一定的数学规则,使得微分成为一种有效的数学工具,可以用于解决各种实际问题03CATALOGUE导数的概念导数的定义总结词导数描述了函数在某一点附近的变化率,是函数值的增量与自变量增量的比值在增量趋于0时的极限详细描述导数定义为函数在某一点x0处的切线斜率,即函数值y在x0处的变化率数学表达式为fx0=limh-0[fx0+h-fx0]/h导数的几何意义总结词详细描述导数的几何意义是函数图像在切点处的切线导数在几何上表示函数图像在切点处的切线斜率斜率当函数在某点可导时,该点的导数值即为切线的斜率切线与x轴的夹角正切值即为该点的导数值导数的基本性质要点一要点二总结词详细描述导数具有一些基本性质,如线性性质、常数性质、幂函数导数具有线性性质,即两个函数的和、差、积的导数等于的导数性质等各自导数的和、差、积常数函数的导数为0,幂函数的导数为其指数与幂的乘积此外,复合函数的导数由链式法则确定04CATALOGUE导数的计算导数的四则运算总结词详细描述掌握导数的四则运算法则是学习微分的基础,包括加法、导数的加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则,以减法、乘法和除法及这些法则的推导和应用复合函数的导数总结词详细描述理解复合函数的导数是解决复杂函数微分问题的关键复合函数的求导法则,以及如何应用这个法则来计算复合函数的导数隐函数的导数总结词详细描述掌握隐函数的导数是解决隐函数存在定理和相关问题隐函数的求导方法,以及如何应用这个方法来计算隐函的基础数的导数05CATALOGUE导数的应用利用导数研究函数的单调性总结词通过导数的符号,判断函数在某区间内的单调性详细描述对于可导函数$fx$,如果$fx0$,则$fx$在该区间内单调递增;如果$fx0$,则$fx$在该区间内单调递减利用导数求函数的极值总结词详细描述利用导数找到函数的极值点,并确定极对于可导函数$fx$,如果在某点$x_0$值处$fx_0=0$,则该点可能为极值点VS进一步判断$fx_0$的符号,可以确定是极大值还是极小值利用导数求曲线的切线方程总结词详细描述通过导数找到曲线在某点的切线斜率,从而对于可导函数$fx$,其在点$x_0$处的切确定切线方程线斜率为$fx_0$利用点斜式方程,可以求出切线方程06CATALOGUE微分的应用利用微分近似计算010203计算近似值误差估计近似公式推导利用微分近似计算函数在某点的通过微分计算,可以估计出近似利用微分,可以推导出一些函数切线斜率,进而求得函数在该点值的误差范围,从而判断近似值的近似公式,如泰勒级数展开等的近似值的精度利用微分求解微分方程求解初值问题通过微分方程和初始条件,利用微分求解出未知函数的表达式求解边值问题利用微分方程和边界条件,通过微分求解出满足条件的未知函数求解常微分方程通过微分方程和初始条件,利用微分求解出未知函数的值利用微分优化问题单变量优化多变量优化利用微分确定函数的单调性和极值点,进而找利用微分确定函数的梯度和海森矩阵,进而找到函数的最大值或最小值到函数的极值点约束优化利用微分和约束条件,找到满足约束条件的函数极值点THANKS感谢观看。