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CATALOG DATEANALYSIS SUMMARYREPORT《n阶行列式》PPT课件EMUSER•行列式的定义与性质目录•行列式的计算方法•行列式的应用CONTENTS•行列式与其他数学概念的关系•特殊行列式介绍CATALOG DATEANALYSIS SUMMARREPORTY01行列式的定义与性质EMUSER行列式的定义二阶行列式定义由两个元素$a_{11}$、$a_{12}$和$a_{21}$、$a_{22}$构成的平行四边形的面积,用$D_{2}$表示,即$D_{2}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$三阶行列式定义由三个元素$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{13}$和$a_{21}$、$a_{22}$、$a_{23}$以及$a_{31}$、$a_{32}$、$a_{33}$构成的平行六面体的体积,用$D_{3}$表示,即$D_{3}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$行列式的性质线性性质转置性质如果一行(或一列)中的所有元素都乘以一个常如果将行列式的某一行(或某一列)转置,则新数k,则该行列式的值也乘以k的行列式的值与原行列式的值相等代数余子式余子式与代数余子式的关系在一个n阶行列式中,划去元素$a_{ij}$所在的第i在一个n阶行列式中,元素$a_{ij}$的代数余子式行和第j列后得到的$n-1$阶行列式称为元素等于该元素的余子式与一个正负号的乘积,即$a_{ij}$的代数余子式,记作$A_{ij}$$A_{ij}=-1^{i+j}M_{ij}$行列式的几何意义二阶行列式的几何意n阶行列式的几何意义表示平行四边形义在三维空间中,的面积可以表示一个有向体积三阶行列式的几何意义表示平行六面体的体积CATALOG DATEANALYSIS SUMMARREPORTY02行列式的计算方法EMUSER代数余子式代数余子式定义在n阶行列式中,去掉某一行和某一列后所剩下的n-1阶行列式,再乘以-1的相应指数,即为该元素的代数余子式代数余子式的性质代数余子式与原来的元素在行和列上的位置有关,且代数余子式的符号由去掉元素所在行和列的行号和列号的较小值决定代数余子式的计算方法直接计算法01根据代数余子式的定义,直接计算n-1阶行列式,再乘以-1的相应指数递推法02利用行列式的展开性质,将高阶行列式转化为低阶行列式,再利用已知的低阶行列式计算高阶行列式公式法03利用已知的代数余子式公式进行计算,可以大大简化计算过程行列式的计算公式行列式展开公式转置行列式将行列式的行和列互换后所得到的行n阶行列式等于其主对角线上的元素列式称为原行列式的转置行列式,其的乘积减去副对角线上的元素的乘积值与原行列式相等Laplace展开公式将n阶行列式展开为若干个n-1阶行列式的乘积,每个n-1阶行列式与原行列式中的元素有关CATALOG DATEANALYSIS SUMMARREPORTY03行列式的应用EMUSER在线性方程组中的应用解线性方程组行列式可以用来判断线性方程组是否有唯一解、无穷多解或无解当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解;当系数矩阵的行列式为零时,方程组可能无解或有无穷多解求解常系数线性微分方程组通过计算特征多项式的行列式,可以得到特征根,进而求解常系数线性微分方程组在矩阵中的应用计算矩阵的逆利用行列式可以计算矩阵的逆,当矩阵的行列式不为零时,该矩阵存在逆矩阵计算矩阵的秩矩阵的秩等于其所有子式的最大阶数,而子式就是通过消去一行或一列得到的行列式在向量空间中的应用判断向量是否线性相关通过计算向量构成的行列式,可以判断一组向量是否线性相关如果行列式为零,则向量组线性相关;如果行列式不为零,则向量组线性无关判断向量空间是否是有限维如果一个向量空间的基的个数等于该空间的维数,则该向量空间是有限维的利用行列式可以判断一组向量是否构成基,进而判断向量空间是否是有限维CATALOG DATEANALYSIS SUMMARREPORTY04行列式与其他数学概念的关系EMUSER行列式与矩阵的关系01行列式是矩阵的一种特殊形式,用于描述矩阵的某些性质和行为02行列式可以用于计算矩阵的某些重要属性,如行列式的值、矩阵的秩等03行列式和矩阵在数值计算、线性代数等领域中有着广泛的应用行列式与线性变换的关系行列式描述了线性变换对空间的影响,特别是对1空间体积的影响行列式的值决定了线性变换的性质,如可逆性、2奇异性等在线性代数中,行列式是研究线性变换的重要工3具之一行列式与微积分的关系01行列式在微积分中常常用于解决某些积分问题,如定积分、多重积分等02行列式可以用于计算某些几何量,如体积、面积等03在微分学中,行列式可以用于计算某些函数的导数和偏导数CATALOG DATEANALYSIS SUMMARREPORTY05特殊行列式介绍EMUSER范德蒙德行列式性质范德蒙德行列式具有一些重要的性质,如交换律、结合律和分配律等定义范德蒙德行列式是一个应用由n个m维向量构成的行列式,其元素是这n范德蒙德行列式在数学个向量的所有m元组线和物理中有广泛的应用,性组合的系数如求解线性方程组、计算向量场的散度等拉普拉斯定理定义拉普拉斯定理是关于行列式乘积的定理,它指出两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积性质拉普拉斯定理具有一些重要的推论,如三阶行列式乘积的展开式等应用拉普拉斯定理在数学和物理中有广泛的应用,如求解线性方程组、计算矩阵的逆等克拉默法则性质应用定义克拉默法则是关于线性方程组克拉默法则具有一些重要的推克拉默法则在数学和科学计算解的定理,它指出如果线性方论,如解的公式和系数行列式中有广泛的应用,如求解线性程组的系数行列式不为零,则的性质等方程组、计算矩阵的逆等该方程组有唯一解CATALOG DATEANALYSIS SUMMARREPORTYTHANKS感谢观看EMUSER。