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《开集的可测》ppt课件•开集的定义与性质•可测集的引入•开集的可测性•开集与可测函数•开集与积分01开集的定义与性质开集的定义开集是拓扑空间中的一种子集,在实数轴上,开集通常表示为开开集的补集是闭集,反之亦然定义为由至少一个邻域中的点组区间,即不包含端点的区间成的集合开集的性质开集具有遗传性,即如果一个开集具有可数补性,即对于任开集具有可分离性,即任意两集合是开集的子集,那么这个意可数开覆盖,存在有限子覆个不交的开集可以由两个不相子集也是开集盖交的开集分离开集与闭集的关系01开集和闭集是互补的,即一个集合如果是开集,那么它的补集就是闭集,反之亦然02开集和闭集在拓扑空间中具有对偶性,即它们的性质和行为在很多方面都是对偶的02可测集的引入可测集的定义可测集是实数空间上的一个子集,对于该子集中的任意点,存在一个包含该点的开区间,该区间上的实值函数与该子集的交集在该区间上具有一致的取值可测集是概率论和测度论中的一个基本概念,用于描述可量化的对象或事件可测集的性质可测集具有可数可加性对于任意两个可测集A和B,如果A和B没有交集,那么A并B是可测的可测集具有平移不变性对于任意可测集A和任意实数a,集合A+a(即每个点x在A中的点都加上a,得到的新点x+a)是可测的可测集与开集的关系开集不一定是可测的,但可测集一定是开集的子集在实数空间上,每个开集都可以表示为一系列两两分离的可测集的并集03开集的可测性开集可测的条件010203实数可测集合运算性质连续性开集可测的前提是实数可开集可测需要满足集合运开集可测需要满足连续性,测,即实数轴上的任意子算性质,即集合的并、交、即任意小的开集都是可测集都是可测的差等运算后的结果仍是可的测的开集可测的证明构造法反证法直接法通过构造一个可测的子集,假设开集不可测,利用集直接利用集合的可测性质利用集合运算性质逐步逼合的性质和反证法推导出和开集的定义进行推导,近目标开集,从而证明开矛盾,从而证明开集的可证明开集的可测性集的可测性测性开集可测的应用随机过程在随机过程的研究中,开集的可测概率论性是分析随机过程的重要工具,有助于研究随机过程的性质和行为在概率论中,开集的可测性是概率空间的基本性质之一,是概率论研究的重要基础统计学在统计学中,开集的可测性是数据分析和推断的重要依据,有助于进行统计推断和预测04开集与可测函数函数可测的条件定义域可测函数定义域必须是可测集函数值可测函数在定义域内的取值必须是可测的连续性函数在定义域内必须是连续的函数可测的证明单调性连续性如果函数在定义域内单调递增或递减,如果函数在定义域内连续,则该函数则该函数是可测的是可测的有限性如果函数在定义域内的取值是有限的,则该函数是可测的函数可测的应用概率论统计学物理学在概率论中,可测函数是描述随在统计学中,可测函数用于描述在物理学中,可测函数用于描述机事件的重要工具数据分布和变化趋势物理量随时间和空间的变化05开集与积分积分的基本概念积分定积分是微积分的基本概念之一,它描述了曲线1下的面积,即一个函数与x轴之间的面积黎曼积分黎曼积分是定积分的标准定义,它通过分割区间、2近似面积和取极限来计算函数与x轴之间的面积勒贝格积分勒贝格积分是另一种定积分的定义,它适用于更3广泛的函数,尤其是那些在传统意义上不可积的函数积分与可测性的关系可测性在实数线上,一个集合被称为可测的,如果它与任何开集的交集或差集仍然是可测的可测函数的积分如果一个函数在某个可测集合上取值,则该函数的积分等于该函数在集合上的下确界和上确界的差的积分可测集的性质可测集具有许多重要的性质,例如任何可测集的补集是可测的,任何可测集的有限并和有限交仍然是可测的积分的应用微分学积分是微分学的基础,它可以用来计算面积、体积和其他几何量物理积分在物理中有广泛的应用,例如计算力矩、功和动量等经济学积分在经济学中有许多应用,例如计算总收益、总成本和总需求等THANKS感谢观看。