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文本内容:
平面向量的数量积目录•平面向量的数量积的定义•平面向量的数量积的运算•平面向量的数量积的应用•平面向量的数量积的定理和推论•平面向量的数量积的习题及解析平面向量的数量积的定义01定义及公式定义平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为$mathbf{a}cdot mathbf{b}=|mathbf{a}|times|mathbf{b}|times costheta$,其中$theta$是$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角公式数量积的公式为$mathbf{a}cdot mathbf{b}=x_1x_2+y_1y_2$,其中$mathbf{a}=x_1,y_1$,$mathbf{b}=x_2,y_2$几何意义数量积的几何意义是向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$在夹角$theta$的投影长度之积当夹角$theta$为锐角时,数量积为正,表示两向量同向;当夹角$theta$为钝角时,数量积为负,表示两向量反向;当夹角$theta$为直角时,数量积为零,表示两向量垂直向量数量积的性质交换律$mathbf{a}cdot mathbf{b}=mathbf{b}cdot mathbf{a}$分配律$mathbf{a}+mathbf{b}cdot mathbf{c}=mathbf{a}cdotmathbf{c}+mathbf{b}cdot mathbf{c}$向量与实数乘法的结合律$lambdamathbf{a}cdot mathbf{b}=lambdamathbf{a}cdotmathbf{b}=lambdalambdamathbf{a}cdot mathbf{b}$向量数量积的模长公式$|mathbf{a}|=sqrt{mathbf{a}cdot mathbf{a}}$平面向量的数量积的运算02计算方法要点一要点二要点三定义法投影法向量分解法根据平面向量数量积的定义,若在向量$vec{a}$上做垂直于向量将向量$vec{a}$和$vec{b}$分解到统$vec{a}=a_1,a_2,vec{b}=b_1,b_2$vec{b}$的向量$vec{a}_1$,其模长一基底上,然后分别求各分量之间的$,则$vec{a}cdot为$|vec{a}_1|=|vec{a}|costheta$,数量积再求和vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$其中$theta$为两向量的夹角,则$vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}||vec{b}|costheta+|vec{a}_1||vec{b}|$特殊情况的处理01当$vec{b}=0$时,$vec{a}cdot vec{b}=0$02当$vec{a}$或$vec{b}$为零向量时,其数量积不存在03当两向量垂直时,其数量积为0运算律交换律$vec{a}cdot vec{b}=vec{b}cdot vec{a}$分配律$vec{a}+vec{b}cdot vec{c}=vec{a}cdot vec{c}+vec{b}cdotvec{c}$数乘律$kvec{a}cdot vec{b}=sqrt{k}vec{a}cdotsqrt{k}vec{b}=sqrt{k}vec{a}+sqrt{k}vec{b}cdotsqrt{k}vec{c}$平面向量的数量积的应用03在三角形中的应用余弦定理的推导通过向量数量积,可以推导出三角形的余弦定理,用于计算三角形的角度和边长向量内积与面积向量的数量积可以用于计算三角形的面积,特别是当已知三角形的两边及其夹角时在解析几何中的应用向量垂直与平行判定向量的数量积可以用于判断两个向量是否垂直或平行,这对于解析几何中的图形判定非常有用向量投影向量的数量积可以用于计算一个向量在另一个向量上的投影长度,这在解决解析几何问题时非常有用在物理中的应用动量与冲量在物理中,向量的数量积可以用于描述物体的动量和冲量,这是理解力学问题的基础力的合成与分解在分析力的合成与分解问题时,向量的数量积可以用于计算合力与分力的大小和方向平面向量的数量积的定理和推论04向量数量积的定理向量数量积的定义两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积,记作$vec{a}cdot vec{b}=|vec{a}|times|vec{b}|times costheta$向量数量积的性质数量积满足交换律和分配律,即$vec{a}cdot vec{b}=vec{b}cdot vec{a}$和$vec{a}+vec{c}cdot vec{b}=vec{a}cdot vec{b}+vec{c}cdot vec{b}$向量数量积的推论010203向量数量积与夹角的向量数量积与模长的向量数量积与点积的关系关系关系向量的数量积为0当且仅当两向量垂$|vec{a}cdot vec{b}|leq|vec{a}|如果两个向量的点积为0,则它们正直,即夹角为$90^circ$times|vec{b}|$,即向量数量积的绝交或其中一个向量是零向量对值不超过两向量的模长的乘积向量数量积定理的应用向量数量积在解析几何中的应用可以用来计算向量的模长、夹角、垂直关系等向量数量积在物理中的应用可以用来描述力、速度、加速度等矢量的方向和大小关系向量数量积在数学分析中的应用可以用来证明向量的不等式、等式以及解决一些数学问题平面向量的数量积的习题及解析05基础习题及解析•题目已知向量$\overset{\longrightarrow}{a}=1,2$,$\overset{\longrightarrow}{b}=-2,3$,则$\overset{\longrightarrow}{a}$与$\overset{\longrightarrow}{b}$的夹角为____.•解析首先,计算向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的数量积$\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}{b}=1\times-2+2\times3=4$其次,计算两个向量的模$|\overset{\longrightarrow}{a}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$,$|\overset{\longrightarrow}{b}|=\sqrt{-2^2+3^2}=\sqrt{13}$最后,利用数量积和向量的模计算夹角余弦值$\cos\overset{\longrightarrow}{a},\overset{\longrightarrow}{b}=\frac{\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}{b}}{|\overset{\longrightarrow}{a}|\cdot|\overset{\longrightarrow}{b}|}=\frac{4}{\sqrt{5}\times\sqrt{13}}=\frac{4\sqrt{65}}{65}$因此,夹角为$\arccos\frac{4\sqrt{65}}{65}$基础习题及解析•题目已知向量$\overset{\longrightarrow}{a}=1,-1,\overset{\longrightarrow}{b}=-1,2$,则向量$\overset{\longrightarrow}{a}$与$\overset{\longrightarrow}{b}$的夹角为____.•解析首先,计算向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的数量积$\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}{b}=1\times-1+-1\times2=-3$其次,计算两个向量的模$|\overset{\longrightarrow}{a}|=\sqrt{1^2+-1^2}=\sqrt{2}$,$|\overset{\longrightarrow}{b}|=\sqrt{-1^2+2^2}=\sqrt{5}$最后,利用数量积和向量的模计算夹角余弦值$\cos\overset{\longrightarrow}{a},\overset{\longrightarrow}{b}=\frac{\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}{b}}{|\overset{\longrightarrow}{a}|\cdot|\overset{\longrightarrow}{b}|}=\frac{-3}{\sqrt{2}\times\sqrt{5}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$因此,夹角为$\arccos-\frac{3\sqrt{10}}{10}$提升习题及解析•题目已知向量$\overset{\longrightarrow}{a}=1,0,\overset{\longrightarrow}{b}=4,k$,若$|\overset{\longrightarrow}{a}|=|\overset{\longrightarrow}{b}|$且$\overset{\longrightarrow}{a}\bot\overset{\longrightarrow}{b}$,则$k$的值为____.•解析首先,由向量的模长相等得到方程$1^2+0^2=4^2+k^2$,解得$k^2=15$其次,由向量垂直的条件得到方程$1\times4+0\times k=0$,解得$k=-4$因此,$k$的值为$-4$•题目已知向量$\overset{\longrightarrow}{a}=1,-3,\overset{\longrightarrow}{b}=4,k$,若$\overset{\longrightarrow}{a}//\overset{\longrightarrow}{b}$,则实数$k$的值为____.•解析首先,由向量平行的条件得到方程$1/4=-3/k$,解得$k=-12$因此,实数$k$的值为$-12$综合习题及解析•题目已知向量$\overset{\longrightarrow}{a}=x,1,\overset{\longrightarrow}{b}=x+1,x^{2}$,若$\overset{\longrightarrow}{a}\bot\overset{\longrightarrow}{b}$,则实数$x$的谢谢聆听。