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《微积分人大3版》ppt课件目录•微积分的定义与历史•微积分的基本概念•微积分的基本定理•微积分的运算技巧•微积分的应用实例•微积分的习题与答案01微积分的定义与历史微积分的起源微积分起源于17世纪的欧洲,牛顿从物理学的角度出发,为莱布尼茨则从数学的角度,为最初由牛顿和莱布尼茨两位科了解决运动和力的关系问题,了解决曲线的切线问题和面积学家独立发展提出了微积分的基本概念问题,独立发展了微积分微积分的发展历程18世纪,微积分学得到了广泛的应用和发展,众多数学家如欧01拉、拉格朗日等对微积分学进行了深入的研究和扩展19世纪,随着实数理论的建立和极限理论的完善,微积分学的02基础得以巩固20世纪以来,随着计算机技术的发展,微积分的应用领域更加03广泛,涉及到物理、工程、经济等多个领域微积分的应用领域物理学工程学微积分被广泛应用于物理学的各个分支,如在工程学中,微积分用于解决各种实际问题,力学、电磁学、光学等如流体力学、热传导、弹性力学等经济学计算机科学微积分在经济学中用于研究边际分析和最优计算机科学中的算法分析和数值计算等领域化问题,如成本分析、收益最大化等也广泛应用了微积分的知识02微积分的基本概念极限的定义与性质极限的定义极限是描述函数在某一点的变化趋势的数学工具,定义为当自变量趋近于某一值时,函数值的趋近值极限的性质极限具有唯一性、有界性、局部保号性、局部不等式性质等性质,这些性质在研究函数的性质和解决数学问题中具有重要作用导数的定义与性质导数的定义导数描述了函数在某一点的切线斜率,定义为函数在这一点附近的小增量与自变量增量之比的极限导数的性质导数具有线性性质、可加性、可乘性、链式法则等性质,这些性质在研究函数的单调性、极值、曲线的弯曲方向等方面有广泛应用积分的定义与性质积分的定义积分是定积分概念的推广,定义为函数在某个区间上的面积的代数和积分的性质积分具有线性性质、可加性、积分中值定理等性质,这些性质在解决几何、物理等问题中具有重要应用微分方程的定义与解法微分方程的定义微分方程是包含未知函数的导数或微分的方程,描述了某一变量随时间或其他变量的变化规律微分方程的解法解微分方程的方法包括分离变量法、常数变异法、因式分解法等,这些方法可以帮助我们找到满足给定条件的解03微积分的基本定理微积分基本定理微积分基本定理证明方法微积分基本定理是微积分学中的核心定微积分基本定理的证明方法通常涉及到极理,它建立了定积分与不定积分之间的限、连续性和可积性的性质,通过选取合关系,将复杂的定积分计算转化为相对VS适的原函数,利用不定积分的计算方法来简单的不定积分计算证明中值定理中值定理应用举例中值定理是微分学中的重要定理,它揭示了中值定理的应用非常广泛,例如在求解一元函数在某区间上的增量与该区间上某点的导函数的极值问题、证明不等式、研究函数的数之间的关系,为研究函数的单调性、极值形态等方面都有重要的应用等问题提供了重要的理论依据泰勒定理泰勒定理应用举例泰勒定理是函数展开理论的重要组成部分,泰勒定理的应用非常广泛,例如在近似计算、它可以将一个函数在某点处展开成多项式函数值分析、求解高阶导数等方面都有重要的数,并给出收敛的阶数和误差估计应用同时,泰勒定理也是研究函数展开和逼近的重要工具04微积分的运算技巧函数的增减性总结词判断函数在某区间上的增减性详细描述通过求导数并判断导数的正负来判断函数的增减性如果导数在某区间上大于0,则函数在此区间上单调递增;如果导数在某区间上小于0,则函数在此区间上单调递减函数的极值与最值要点一要点二总结词详细描述确定函数的极值和最值极值点出现在导数为零的点或导数不存在的点在极值点处,函数值可能比其邻域内的函数值大或小最值点是函数在整个定义域内的最大值或最小值点函数的凹凸性总结词详细描述判断函数的凹凸性通过求二阶导数并判断二阶导数的正负来判断函数的凹凸性如果二阶导数在某区间上大于0,则函数在此区间上为凹函数;如果二阶导数在某区间上小于0,则函数在此区间上为凸函数05微积分的应用实例导数在经济学中的应用导数在经济分析中用于研究经济变量的变化率,例如边际成本、边际收益和边际利润等导数可以帮助经济学家分析经济函数的增减性、极值点和拐点,从而预测经济行为的变化趋势导数在经济学中还用于优化问题,例如求解使利润最大化的产量或使成本最小的投入量等积分在物理学中的应用积分在物理学中用于计算面积、体积和长度等量1积分在解决物理问题时,例如求解物体的质量、2重心和转动惯量等,也具有重要应用积分还可以用于求解某些物理定律的定积分形式,3例如牛顿第二定律和能量守恒定律等微分方程在生物学中的应用微分方程在生物学中用于描述生物种群的增长规律,例如Logistic增长模型和Malthus模型等微分方程还可以用于描述疾病的传播过程,例如SIR模型和SEIR模型等此外,微分方程在生态学、生物化学反应和生理学等领域也有广泛应用,例如描述药物在体内的浓度变化规律等06微积分的习题与答案习题部分习题1求函数$fx=x^3-3x^2+4$的单调区间习题2计算定积分$int_{0}^{pi}xsin x,dx$习题3求函数$fx=frac{1}{x}$在区间$0,+infty$的极值习题4判断函数$fx=x^2-2x$在区间$-infty,a$上是减函数,求实数$a$的取值范围答案部分•答案1首先求导数$fx=3x^2-6x$,然后解不等式$fx0$和$fx0$,得到单调递增区间为$-\infty,0$和$2,+\infty$,单调递减区间为$0,2$•答案2使用微积分基本定理,将积分拆分为$\int{0}^{\pi}x\sin x\,dx=\left[\frac{1}{2}x\sin x\right]{0}^{\pi}-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx$,然后计算得到结果为$-1$•答案3首先求导数$fx=-\frac{1}{x^2}$,然后解方程$fx=0$得到极值点$x=0$,最后判断在极值点左侧和右侧的导数符号,确定极值为极大值•答案4首先求导数$fx=2x-2$,然后解不等式$fx0$得到区间$-\infty,1$,所以实数$a$的取值范围是$1,+\infty$感谢您的观看THANKS。