《微积分极限运算》课件

《微积分极限运算》PPT课件•极限的基本概念目录•极限的四则运算•极限的存在性定理Contents•无穷小与无穷大•极限的应用01极限的基本概念定义与性质极限的定义极限是描述函数在某一点处的变化趋势的数学概念，定义为lim fx=A，其中x趋于某值极限的性质极限具有一些基本性质，如唯一性、有界性、局部保号性等，这些性质在微积分中有着重要的应用极限的分类左极限与右极限函数在某点的左极限和右极限分别描述了函数在该点左侧和右侧的变化趋势单侧极限与双侧极限单侧极限是指函数在某点的一侧趋于该点时的极限，双侧极限则是函数在两侧都趋于该点时的极限极限的几何解释切线斜率曲线变化趋势极限的几何解释可以用来描述函数图像通过极限的几何解释，可以了解函数图像在某一点的切线斜率，即函数在该点的在某一点附近的变化趋势，如增减性、凹导数VS凸性等02极限的四则运算极限的四则运算法则0102极限的加法法则极限的减法法则若limx→x0fx=A，若limx→x0fx=A，limx→x0gx=B，则limx→x0gx=B，则limx→x0[fx+gx]=A+B limx→x0[fx-gx]=A-B极限的乘法法则极限的除法法则若limx→x0fx=A，若limx→x0fx=A，limx→x0gx=B，则limx→x0gx=B（B≠0），则limx→x0[fx×gx]=A×B limx→x0[fx/gx]=A/B0304极限的四则运算性质性质1性质2性质3性质4若在自变量的某一变化过若在自变量的某一变化过若在自变量的某一变化过若在自变量的某一变化过程中，f（x）与g（x）的程中，f（x）与g（x）的程中，f（x）存在有限极程中，n为正整数，则在极限都存在，则在该变化极限都存在，且g（x）限A，且n为正整数，则在该变化过程中，“sin过程中，“f（x）+g≠0，则在该变化过程中，该变化过程中，“f（x）（nπ）”与“cos（nπ）”（x）”与“f（x）-g“f（x）×g（x）”的极^n”的极限存在，且等的极限都存在，且分别等（x）”的极限都存在，限存在，且等于f（x）的于A^n于0且分别等于f（x）与g（x）极限与g（x）的极限的乘的极限的和与差积极限的四则运算应用应用1应用2求函数在某点的值通过求函数在某点的导数，可以得到判断函数的单调性通过求函数的一阶导数，可以判断函函数在该点的切线斜率，从而可以求出函数在该点的值数的单调性如果一阶导数大于0，则函数单调递增；如果一阶导数小于0，则函数单调递减应用3应用4求曲线的拐点通过求函数的一阶导数和二阶导数，可以判断函数的凹凸性通过求函数的二阶导数，可以判断函判断曲线的拐点如果一阶导数等于0，二阶导数大于0，数的凹凸性如果二阶导数大于0，则函数是凹函数；如则曲线在该点处有一个拐点果二阶导数小于0，则函数是凸函数03极限的存在性定理单调有界定理总结词单调有界定理是极限存在的一个重要定理，它指出如果一个数列在某个区间内单调递增或递减，并且有上界或下界，则该数列存在极限详细描述单调有界定理是微积分中的一个基本定理，它说明了如果一个数列在某个区间内单调递增或递减，并且存在上界或下界，则该数列存在极限这个定理在证明极限的存在性和计算极限的过程中非常有用柯西收敛准则总结词柯西收敛准则是一个判断数列或函数收敛的充分必要条件，它指出如果一个数列或函数的任意两个无穷接近的项之间的差值都趋于零，则该数列或函数收敛详细描述柯西收敛准则是微积分中的一个重要定理，它可以用来判断一个数列或函数是否收敛这个准则的充分必要条件是对于任意的$varepsilon0$，存在一个正整数$N$，使得当$nN$时，对于所有的$m,nN$，都有$|a_n-a_m|varepsilon$这个准则在证明极限的存在性和计算极限的过程中非常有用闭区间套定理总结词详细描述闭区间套定理是实数理论中的一个重要定理，闭区间套定理是实数理论中的一个基本定理，它指出如果一个闭区间套的两端点都收敛于它说明了如果一个闭区间套的两端点都收敛同一个极限，则该区间套的长度趋于零于同一个极限，则该区间套的长度趋于零这个定理在证明一些重要的极限性质和不等式的过程中非常有用04无穷小与无穷大无穷小的性质无穷小是动态变化的无穷小不是固定的数值，而是一个动态变化的量，无穷小是极限为零的变量它随着其他变量的变化而变化无穷小是数学中的一个概念，它指的是一个变量在某种变化过程中，其极限为零无穷小具有可加性和可乘性无穷小具有一些基本的运算性质，如可加性和可乘性，这些性质在微积分中有着重要的应用无穷大的性质无穷大是极限无穷的变量无穷大是数学中另一个重要的概念，它指的是一1个变量在某种变化过程中，其极限无穷大无穷大具有可加性和可乘性与无穷小类似，无穷大也具有可加性和可乘性，2这些性质在处理一些数学问题时非常有用无穷大与无穷小之间的关系在一定的条件下，无穷小和无穷大可以相互转化3无穷小与无穷大的关系无穷小和无穷大是相对的概念无穷小和无穷大都是相对于其他变量而言的，一个变量相对于另一个变量可能是无穷小或无穷大无穷小和无穷大在一定条件下可以相互转化例如，当一个数列的项数趋于无穷时，该数列中的每一项都可以看作是无穷小，而整个数列可以看作是无穷大05极限的应用导数与极限的关系导数01表示函数在某一点处的切线斜率，是函数在某一点的变化率极限02描述函数在无穷小或无穷大的过程中的变化趋势导数与极限的关系03导数的定义依赖于极限，导数的存在性也与极限有关导数的计算常常需要用到极限的运算法则和性质定积分与极限的关系定积分01表示函数在某个区间上的面积或体积极限02在定积分的计算中，常常需要用到极限的运算法则和性质，如微元法、微分法等定积分与极限的关系03定积分的计算依赖于极限，定积分的存在性也与极限有关定积分的计算常常需要用到极限的运算法则和性质级数与极限的关系级数表示无穷多个数的和极限在级数的收敛性判定中，常常需要用到极限的运算法则和性质级数的收敛性与极限的性质有关级数与极限的关系级数的收敛性判定依赖于极限，级数的收敛性也与极限有关级数的收敛性判定常常需要用到极限的运算法则和性质THANKS。