天津大学管理运筹学课件第二章-图论

天津大学管理运筹学课件第二章-图论•图论简介•图的基本概念•图的连通性•图论中的优化问题•图论中的算法•图论中的NP完全问题01图论简介图论的发展历程起源图论起源于18世纪的欧拉时代，最初是为了解决1著名的哥尼斯堡七桥问题而发展起来的发展随着数学和计算机科学的发展，图论逐渐成为一2门独立的学科，并在20世纪中叶得到了快速的发展应用图论在许多领域都有广泛的应用，如计算机科学、3电子工程、交通运输、生物信息学等图论的应用领域计算机科学交通运输图论在计算机科学中广泛应用于算法设计、数据图论在交通运输领域用于解决路线规划、交通流结构、计算机网络等领域量优化、物流配送等问题A BC D电子工程生物信息学图论在电子工程中用于描述电路和网络，以及进图论在生物信息学中用于研究基因组、蛋白质组行电路设计和优化等生物数据，以及进行分子网络分析02图的基本概念图的定义与表示总结词图的定义与表示是图论的基础，包括顶点和边的概念以及如何用数学符号表示图详细描述图是由顶点和边构成的数学结构，通常用数学符号表示顶点表示对象，边表示对象之间的关系在图论中，通常用圆圈或方框表示顶点，用直线、曲线或折线表示边顶点与边总结词顶点与边是构成图的基本元素，具有不同的性质和特征详细描述顶点是构成图的基本单元，表示对象或事件边是连接顶点的线段，表示对象之间的关系在图论中，顶点和边可以具有不同的性质和特征，如权重、方向等路径与回路总结词路径和回路是图论中的重要概念，用于描述图中顶点之间的连接关系详细描述路径是指从图中的一个顶点到另一个顶点所经过的边的序列回路是指一个路径的起点和终点是同一点，且路径上的边不重复在图论中，路径和回路的概念对于解决各种实际问题具有重要意义，如最短路径问题、连通性问题等03图的连通性连通性的定义连通性非连通图连通度在图论中，如果图中的任意两个如果图中存在两个或更多的顶点，一个图的连通度表示该图中顶点顶点之间都存在一条路径，则称它们之间没有路径相连，则称该之间连接的紧密程度，通常用顶该图是连通的也就是说，从任图为非连通图点数与边的比值来表示意一个顶点出发，都可以到达其他任意顶点最小生成树最小生成树最小生成树的算法在一个连通图中，一棵包含所有顶点的常见的最小生成树算法有Prim算法和树且边的权值之和最小，称为最小生成Kruskal算法Prim算法从任意一个顶点树VS开始，每次选择与已选顶点集合相连的权值最小的边，直到所有顶点都被包含在树中；Kruskal算法则是按照边的权值从小到大排序，然后依次选择边，每次选择一条与已选顶点集合不构成环的边最短路径问题最短路径问题最短路径算法在图论中，寻找图中两个顶点之间权值和最常见的最短路径算法有Dijkstra算法和小的路径问题称为最短路径问题Floyd-Warshall算法Dijkstra算法适用于带权重的有向图或无向图，从源顶点开始逐步扩展到相邻的顶点，直到找到最短路径；Floyd-Warshall算法则是通过动态规划求解所有顶点之间的最短路径问题04图论中的优化问题旅行商问题总结词旅行商问题是一个经典的组合优化问题，旨在寻找一条旅行路线，使得一个推销员能够访问所有指定的城市，并最后返回出发城市，且所走的总距离最短详细描述旅行商问题是一个NP难问题，其求解方法包括精确算法和近似算法精确算法如动态规划、分支定界法等，但计算复杂度较高近似算法如遗传算法、模拟退火算法等，可以在可接受的时间内得到近似最优解最大流问题要点一要点二总结词详细描述最大流问题是在有向图中寻找从源点到汇点的最大流量值最大流问题的求解方法包括Ford-Fulkerson算法、的问题Edmonds-Karp算法等这些算法通过不断地寻找增广路径并更新残量流量来逼近最大流值此外，最大流问题的预处理和后处理也是解决该问题的关键步骤二分图匹配问题总结词详细描述二分图匹配问题是在二分图中寻找最大匹配二分图匹配问题的求解方法包括匈牙利算法、数的问题，即在一幅图中找到最大的匹配子Kuhn-Munkres算法等这些算法通过构造集，使得任意两个匹配的点都不相邻增广路径并逐步逼近最大匹配数此外，二分图匹配问题在现实生活中的应用也非常广泛，如任务调度、工作分配等05图论中的算法Dijkstra算法总结词详细描述Dijkstra算法是一种用于解决单源最短路径问题的经典算Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始，逐步向外扩展法到相邻节点，每次找到从源节点到当前节点的最短路径，直到所有节点都被访问过该算法采用贪心策略，每次选择当前距离最短的边，从而逐步构建出最短路径Floyd-Warshall算法总结词Floyd-Warshall算法是一种用于解决任意两点间最短路径问题的动态规划算法详细描述Floyd-Warshall算法的基本思想是通过构建一个动态规划表来记录任意两点之间的最短路径长度该算法首先初始化一个距离矩阵，然后逐步更新这个矩阵，直到所有节点之间的最短路径都被找到Bellman-Ford算法总结词详细描述Bellman-Ford算法是一种用于解决带负权重的单源最Bellman-Ford算法的基本思想是从源节点开始，通过短路径问题的算法不断更新节点间的距离来找到最短路径该算法可以处理带有负权重的边，但在最坏情况下时间复杂度较高，为OVE，其中V是节点数，E是边数06图论中的NP完全问题NP完全问题简介NP完全问题定义NP完全问题是指那些在非确定多项式时间内无法得到解决，但通过某种近似算法可以得到近似最优解的问题NP完全问题的特性NP完全问题具有指数级的计算复杂度，即随着问题规模的增大，计算复杂度呈指数级增长，因此在实际应用中常常难以求解NP完全问题的应用NP完全问题在计算机科学、运筹学、经济学等领域有广泛的应用，如旅行商问题、背包问题、排班问题等最大团问题最大团问题的求解方法最大团问题是一个NP完全问题，目前尚无多项式时最大团问题定义间复杂度的求解算法常用的近似算法有贪心算法、遗传算法等最大团问题是指在给定的一个图中寻找最大的团，即包含图中最多节点的集合，使得集最大团问题的应用合中任意两个节点都相邻最大团问题在计算机科学、运筹学、社会学等领域有广泛的应用，如网络设计、社交网络分析、组织结构优化等地图着色问题地图着色问题定义01地图着色问题是指给定一个地图，要求使用最少的颜色对地图上的区域进行着色，使得相邻区域的颜色不同地图着色问题的求解方法02地图着色问题也是一个NP完全问题，常用的近似算法有贪心算法、遗传算法等地图着色问题的应用03地图着色问题在计算机科学、运筹学、地理信息系统等领域有广泛的应用，如网页排版、电路板布线、城市规划等THANKS感谢观看。