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多变数函数的极限与连续教学课件•引言contents•多变数函数极限的概念与性质•多变数函数的连续性目录•极限与连续的应用•习题与解答01引言CHAPTER课程背景数学是研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科,在科学、工程、技术等方面有着广泛的应用多变数函数是数学中的重要概念,其极限与连续性质是研究多变数函数的基础在实际应用中,许多问题都需要用到多变数函数的极限与连续性质,因此掌握这一知识点对于学生未来的发展非常重要课程目标掌握多变数函数的极培养学生的数学思维限与连续性质的基本能力和解决实际问题概念和性质的能力理解多变数函数极限与连续性质在解决实际问题中的应用02多变数函数极限的概念与性质CHAPTER多变数函数极限的定义定义对于任意给定的正数$epsilon$,存在一个正数$delta$,当所有点$x$满足$|x-a|delta$时,有$|fx-L|epsilon$,则称$L$为函数$fx$在点$a$处的极限说明该定义描述了当自变量$x$趋近于某个点$a$时,函数值$fx$的变化趋势,即函数值无限接近某个常数$L$多变数函数极限的性质010203唯一性局部有界性局部保号性若函数在某点的极限存在,若函数在某点的极限存在,若函数在某点的极限存在则该极限值是唯一的则该函数在点附近是有界且不为零,则该函数在点的附近与零的符号相同单侧极限与双侧极限单侧极限考虑函数在某点的一侧或两侧的极限值双侧极限考虑函数在某点的两侧同时趋近时的极限值03多变数函数的连续性CHAPTER连续性的定义连续性的定义如果对于任意给定的正数$varepsilon$,都存在一个正数$eta$,使得对于定义域内的任意点$x$,只要$x_0$满足$|x-x_0|eta$,则有$|fx-fx_0|varepsilon$,则称函数$fx$在点$x_0$处连续连续性的几何意义在图形上,如果函数在某一点的附近非常“平滑”,没有“跳跃”或“断裂”,则该函数在该点连续连续性的性质性质1若函数$fx$在点$x_0$处连续,且$fx_0=a$,则有$lim_{x tox_0}fx=a$性质2若函数$fx$在点$x_0$处不连续,则在该点处一定有间断点连续性与可微性的关系关系1关系2关系3如果函数在某一点处连续,如果函数在某一点处不可可微的函数在其定义域内则该函数在该点可能可微微,则该函数在该点一定的每一点都连续,但连续不连续的函数不一定可微04极限与连续的应用CHAPTER在数学分析中的应用积分学多变数函数的积分学是数学分析的极限理论重要分支,其极限理论在积分计算、积分性质等方面起着关键作用极限是数学分析中的基本概念,多变数函数的极限理论在数学分析中有着广泛的应用,如实数完备性定理、级数收敛性等微分学多变数函数的微分学是研究函数变化率的重要工具,其极限理论在导数定义、微分法则等方面具有基础性作用在物理中的应用力学流体动力学在研究多维物理现象时,如质点和刚在研究流体动力学问题时,流速场、体的运动、弹性力学等,多变数函数压力场等物理量常常是多变数函数,的极限与连续性质常常被用来描述物其极限与连续性质对于描述流体行为理量的变化规律具有重要意义电磁学在研究电磁场时,电场强度、磁场强度等物理量常常是多变数函数,其极限与连续性质对于理解电磁场的行为至关重要在工程中的应用计算机图形学控制系统数值分析在计算机图形学中,多变数函数在控制系统中,系统的传递函数、在数值分析中,多变数函数的极的极限与连续性质被广泛应用于状态方程等常常是多变数函数,限与连续性质对于数值方法的收几何计算、图像处理等方面,如其极限与连续性质对于分析系统敛性分析、误差估计等方面具有曲线曲面生成、光照模型等稳定性、控制效果等具有重要影关键作用,如有限差分法、有限响元法等05习题与解答CHAPTER习题部分题目1设函数$fx,y$在点$0,0$的某邻域内有定义,且对任意$x,y$满足$|fx,y|leq|x|+|y|$,证明$fx,y$在点$0,0$处连续题目2设函数$fx,y$在点$0,0$的某邻域内有定义,且对任意$x,y$满足$fx,y=frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+1}$,证明$fx,y$在点$0,0$处极限不存在解答部分答案1答案2首先,由题意可知,对于任意小的正数对于任意小的正数$epsilon$,我们尝试找$epsilon$,存在$delta0$,当$|x|到一个正数$delta0$,使得当$|x|delta$且$|y|delta$时,有$|fx,y|delta$且$|y|delta$时,有$|fx,y-epsilon$这说明当函数在点$0,0$的邻f0,0|epsilon$然而,由于函数在点域内变化时,其值的变化范围可以被限制在$0,0$处的表达式为$frac{x^2+一个足够小的区间内因此,函数$fx,y$y^2}{x^2+y^2+1}$,我们可以观察到在点$0,0$处连续当$x,y$趋于$0,0$时,分母和分子都趋于0,这导致了极限的不确定性和无法找到一个合适的$delta$来满足上述不等式因此,函数$fx,y$在点$0,0$处的极限不存在THANKS感谢观看。