还剩24页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
函数的连续性课件目录CONTENTS•函数连续性的定义•函数连续性的判定•函数连续性的应用•函数连续性的扩展•函数连续性的反例•函数连续性的习题与解答01函数连续性的定义函数连续性的定义函数在某点连续如果函数在某点的极限值等于该点的函数值,则函数在该点连续函数在区间连续如果函数在区间的每一点都连续,则函数在该区间连续函数连续性的几何意义曲线平滑过渡函数连续性的几何意义可以理解为曲线在某点的切线斜率逐渐变化,没有突然的跳跃或断点无垂直或水平切线如果函数在某点连续,则该点的切线斜率是有限的,且没有垂直或水平切线函数连续性的性质局部性质函数在某点的连续性仅与该点的附近函数值有关,而与远离该点的函数值无关可积性如果函数在区间上连续,则该函数在区间上的积分存在02函数连续性的判定函数在某点连续的判定函数在某点连续的定义如果一个函数在某一点的极限值等于该点的函数值,则称该函数在该点连续判断方法通过求函数的极限,并验证该极限值是否等于该点的函数值函数在区间上连续的判定函数在区间上连续的定义如果函数在区间内的每一点都连续,则称该函数在该区间上连续判断方法通过检查区间内每一点的极限值是否都等于该点的函数值,以及检查区间端点的连续性函数在无穷区间上连续的判定函数在无穷区间上连续的定义如果函数在无穷区间内的每一点都连续,则称该函数在该无穷区间上连续判断方法通过检查无穷区间内每一点的极限值是否都等于该点的函数值,以及检查无穷区间端点的连续性03函数连续性的应用利用连续性求极限总结词01利用函数在某点的连续性,可以简化求极限的过程详细描述02在求极限的过程中,如果函数在所考虑的点处连续,那么该点的极限值就是该点的函数值因此,可以利用函数在某点的连续性,直接得出该点的极限值,避免了复杂的计算过程示例03对于函数$fx=x^2$,在$x=2$处连续,因此$lim_{x to2}fx=4$利用连续性判断函数的单调性总结词函数的单调性可以通过其连续性来判断详细描述如果函数在某区间内连续,并且在该区间内单调增加或减少,那么该函数在该区间内是单调的这是因为连续函数在其定义域内的任何子区间上都是一致增加或减少的示例函数$fx=x^3$在$-infty,+infty$上连续且单调增加利用连续性判断函数的可积性总结词利用函数的连续性可以判断其可积性详细描述如果函数在区间[a,b]上连续,那么它在这个区间上是可积的这是因为连续函数在其定义域内的任何子区间上都是一致增加或减少的,所以其积分值是有限的示例函数$fx=x^2$在[0,1]上连续,因此在这个区间上是可积的04函数连续性的扩展一致连续性总结词详细描述一致连续性是指函数在某个区间上的每一致连续性是函数连续性的一种更严格的一点都连续,且在整个区间上的一致性条件在一致连续的函数中,无论在区间VS的哪个点,函数的值都不会突然跳跃或剧烈变化这使得函数在整体上表现得更加稳定和规律紧致性定理总结词紧致性定理是指一个有界闭区间上的连续函数必定达到其最大值和最小值详细描述紧致性定理是实数理论中的重要定理之一,它表明在一个有限的闭区间上,连续函数必定达到其最大值和最小值这个定理在解决优化问题、寻找函数的极值等方面有着广泛的应用有限覆盖定理总结词详细描述有限覆盖定理是指对于一个开覆盖,存在有有限覆盖定理是实数理论中的另一个重要定限的子覆盖理,它表明对于任何开覆盖,总可以找到一个有限的子覆盖来覆盖整个集合这个定理在证明函数的某些性质、解决某些数学问题等方面有着重要的应用05函数连续性的反例不连续点的反例例子1考虑函数$fx=frac{1}{x}$在$x=0$处的不连续性当$x$趋近于0时,$fx$的极限不存在,因此$x=0$是该函数的一个不连续点例子2考虑函数$fx=begin{cases}x^2,x text{是偶数}x,x text{是奇数}end{cases}$在$x=0$处的不连续性当$x$趋近于0时,$fx$的值在$0^2$和$0$之间跳跃,因此$x=0$是该函数的一个不连续点无穷间断点的反例例子1考虑函数$fx=frac{1}{x}$在$x=0$处的无穷间断性当$x$趋近于0时,$fx$的极限为无穷大,因此$x=0$是该函数的一个无穷间断点例子2考虑函数$fx=begin{cases}x,xleq01,x0end{cases}$在$x=0$处的无穷间断性当$x$趋近于0时,$fx$的值在0和1之间跳跃,因此$x=0$是该函数的一个无穷间断点其他反例要点一要点二例子1例子2考虑函数$fx=x^2$在$x=0$处的不连续性当$x$考虑函数$fx=begin{cases}x,x text{是有理数}-x,趋近于0时,$fx$的极限不存在,因此$x=0$是该函数x text{是无理数}end{cases}$在$x=0$处的不连续性的一个不连续点当$x$趋近于0时,$fx$的值在0和-0之间跳跃,因此$x=0$是该函数的一个不连续点06函数连续性的习题与解答习题部分$gx=frac{1}{x}$在判断下列函数在给定点处$x=0$处的连续性讨论函数$fx=frac{1}{x}$在区间$-infty,0$和$0,+infty$上的连续性$fx=x^2$在$x=1$处$hx=sqrt{x}$在$x=-1$处解答部分对于$fx=x^2$,在$x=1$处,对于$gx=frac{1}{x}$,在$x=对于$hx=sqrt{x}$,在$x=-1$有$f1=1^2=1$由于$fx$0$处,左侧的值$g0-epsilon=处,有$h-1=sqrt{-1}=i$由于在$x=1$处左侧的值$f1-frac{1}{0-epsilon}$无定义,右侧$hx$在$x=-1$处左侧的值$h-epsilon=1-epsilon^2$和右侧的值$g0+epsilon=frac{1}{0+1-epsilon$和右侧的值$h-1+的值$f1+epsilon=1+epsilon}$也无定义因此,$gx$epsilon$都趋近于$i$,所以epsilon^2$都趋近于$f1$,所以在$x=0$处不连续$hx$在$x=-1$处连续$fx$在$x=1$处连续感谢您的观看THANKS。