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《单变量微分学》ppt课件目录•微分学的基本概念•导数的计算•导数的应用•导数的定理与性质•导数的综合应用微分学的基本概念01导数的定义总结词导数是函数在某一点的变化率的量度,是微积分中的基本概念详细描述导数定义为函数在某一点附近的小范围内,自变量的微小变化所引起的函数值的改变量,即函数在该点的切线斜率导数的计算公式为$fx=lim_{Delta xto0}frac{Delta y}{Delta x}$,其中$Delta y=fx+Delta x-fx$导数的几何意义总结词导数的几何意义是切线斜率,表示函数图像在该点的切线与x轴正方向的夹角详细描述函数在某一点的导数等于该点切线的斜率当导数大于0时,切线与x轴正方向夹角为锐角;当导数小于0时,切线与x轴正方向夹角为钝角;当导数等于0时,切线与x轴垂直导数的物理意义总结词导数的物理意义是速度和加速度的量度,常用于描述自然现象和工程问题详细描述在物理学中,导数常用于描述物体的运动状态,如速度和加速度例如,物体在某时刻的速度可以表示为位置函数在该时刻的导数;而加速度可以表示为速度函数在该时刻的导数此外,导数在热学、电学、光学等领域也有广泛的应用导数的计算02导数的基本公式切线斜率公式$fx=lim_{Delta xto0}frac{Delta y}{Delta x}$,用于计算函数在某一点的导数,即切线斜率基本初等函数的导数公式例如$fx=frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$,$fx=frac{d}{dx}sin x=cos x$等导数的运算法则加法法则$uv=uv+uv$,适用于两个函数的乘积的导数乘法法则$u^n=nu^{n-1}u$,适用于函数与常数的乘积的导数链式法则$fux=fux cdotux$,适用于复合函数的导数高阶导数高阶导数的定义函数$fx$的$n$阶导数$f^{n}x$是$fx$关于$x$的$n$次微分高阶导数的计算高阶导数的应用使用高阶导数的运算法则,如莱布尼茨法则,高阶导数在研究函数的极值、拐点、曲线的计算高阶导数形状等方面有重要应用导数的应用03切线斜率与函数增减性切线斜率导数在几何上表示切线的斜率,当导数大于0时,函数图像在该点处向上倾斜;当导数小于0时,函数图像在该点处向下倾斜函数增减性导数的符号决定了函数的增减性,导数大于0表示函数在该区间内单调递增,导数小于0表示函数在该区间内单调递减极值问题极值判定当一元函数在某点的导数为0,且该点两侧的导数符号相反时,该点为极值点极值计算极值点处的函数值即为极值,可以通过将极值点处的x值代入原函数进行计算不定积分与微分不定积分微分不定积分是求一个函数的原函数的过程,微分是函数在某一点的变化率的近似值,即求出该函数的原函数后,再求该原函即函数在该点的增量与自变量增量的比值数的导数,即可得到原函数VS的极限导数的定理与性质04导数的基本定理定理1定理2定理3导数的定义与性质可导与连续的关系导数的几何意义导数的性质性质3高阶导数03性质2导数的运算性质02性质1导数的符号01导数与连续性的关系关系1可导与连续的关系关系2导数不存在的点关系3导数与函数增减性的关系导数的综合应用05导数在几何中的应用切线斜率01导数可以用来求曲线上某一点的切线斜率,进而研究曲线的几何性质单调性02利用导数可以判断函数的单调性,进而研究曲线的变化趋势极值03导数可以用来求函数的极值点,进而研究曲线的局部形态导数在物理中的应用速度与加速度导数可以用来描述物理中的速度和加速度,进而研究物体的运动规律弹性分析导数可以用来描述物理中的弹性关系,进而研究物体的受力与变形热传导导数可以用来描述热传导过程中的热量传递规律,进而研究温度场的变化导数在经济中的应用010203边际分析最优化问题需求弹性导数可以用来描述经济中导数可以用来求解经济中导数可以用来描述经济中的边际成本、边际收益和的最优化问题,例如最大的需求弹性,进而研究市边际利润,进而研究企业利润和最小成本等场供需关系和价格变化规的经营决策律谢谢聆听。