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《向量及其线性运算》ppt课件•向量的定义与表示•向量的线性运算•向量的数量积•向量的向量积目录•向量的混合积contents01CATALOGUE向量的定义与表示向量的定义总结词向量是一种具有大小和方向的量,表示物体运动和力的作用详细描述向量是数学中一个基本概念,表示物体运动和力的作用它由大小和方向两个要素组成,通常用有向线段表示在二维平面中,向量可以用一个有向线段表示,而在三维空间中,向量则可以用一个有向线段加上一个垂直于该线段的单位向量表示向量的表示方法总结词向量的表示方法有多种,包括文字表示、符号表示、坐标表示等详细描述文字表示是用有向线段表示向量,符号表示是用字母或符号表示向量,坐标表示则是用坐标系中的坐标表示向量这些表示方法各有优缺点,应根据具体情况选择合适的表示方法向量的模总结词向量的模是指向量的大小或长度详细描述向量的模是衡量向量大小的量,用符号“||”表示向量的模可以通过勾股定理或向量的点积等公式计算得出向量的模具有一些基本性质,如非负性、传递性、三角不等式等了解向量的模对于解决实际问题非常重要,如物理中的力、速度和加速度等都可以用向量表示,而向量的模则可以用来衡量这些量的大小02CATALOGUE向量的线性运算向量的加法总结词向量加法的定义与性质详细描述向量加法是向量空间的基本运算之一,其定义基于平行四边形法则向量加法满足交换律和结合律,即向量加法不依赖于其运算的顺序向量的数乘总结词数乘的定义与性质详细描述数乘是标量与向量的乘法运算,其结果仍为向量数乘满足结合律和分配律,即对于任意实数$k$和向量$vec{a}$,有$kmvec{a}=kmvec{a}$向量的减法总结词向量减法的定义与性质详细描述向量减法是向量加法的逆运算,即通过加上一个相反的向量来实现向量减法满足反交换律,即向量减法不满足交换律03CATALOGUE向量的数量积数量积的定义总结词详细描述数量积是两个向量的内积,定义为两个数量积定义为$mathbf{A}cdot向量的对应坐标相乘后求和mathbf{B}=A_1B_1+A_2B_2+ldotsVS+A_nB_n$,其中$mathbf{A}=A_1,A_2,ldots,A_n$和$mathbf{B}=B_1,B_2,ldots,B_n$是两个n维向量数量积的几何意义总结词详细描述数量积表示两个向量的长度和夹角余弦值的数量积的几何意义是表示两个向量的长度和乘积夹角余弦值的乘积,即$mathbf{A}cdotmathbf{B}=|mathbf{A}||mathbf{B}|costheta$,其中$theta$是向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$之间的夹角数量积的运算性质总结词详细描述数量积具有分配律、结合律、正定性等运算性质数量积具有分配律,即$mathbf{A}+mathbf{B}cdot mathbf{C}=mathbf{A}cdot mathbf{C}+mathbf{B}cdot mathbf{C}$;结合律,即$mathbf{A}cdot mathbf{B}=mathbf{B}cdotmathbf{A}$;正定性,即当且仅当两个向量同向或反向时,数量积为正或负的最大值04CATALOGUE向量的向量积向量积的定义总结词向量积是两个向量之间的一种运算,其结果是一个向量详细描述向量积定义为两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的模的乘积与两向量正交的角的正弦值的乘积,记作$mathbf{A}times mathbf{B}$向量积的几何意义总结词向量积表示一个向量在另一个向量上的投影面积详细描述向量积的大小等于一个向量在另一个向量上的投影面积,方向与两向量的正交角有关,遵循右手定则向量积的运算性质要点一要点二总结词详细描述向量积满足交换律和结合律,但不满足数乘分配律根据向量的运算性质,我们有$mathbf{A}timesmathbf{B}=-mathbf{B}times mathbf{A}$,并且$mathbf{A}+mathbf{B}times mathbf{C}=mathbf{A}times mathbf{C}+mathbf{B}timesmathbf{C}$但是,$lambdamathbf{A}timesmathbf{B}neq mathbf{A}times lambdamathbf{B}$,其中$lambda$是标量05CATALOGUE向量的混合积混合积的定义混合积定义混合积的运算性质设向量$mathbf{a},mathbf{b},mathbf{c}$,则混合积满足交换律和结合律,即$mathbf{a}cdot$mathbf{a}cdot mathbf{b}cdot mathbf{c}$称为向量mathbf{b}cdot mathbf{c}=mathbf{b}cdot$mathbf{a},mathbf{b},mathbf{c}$的混合积mathbf{a}cdot mathbf{c}=mathbf{c}cdotmathbf{a}cdot mathbf{b}$,且$mathbf{a}+mathbf{b}cdot mathbf{c}=mathbf{a}cdotmathbf{c}+mathbf{b}cdot mathbf{c}$混合积的几何意义几何意义计算公式混合积表示以$mathbf{a},mathbf{b},设向量$mathbf{a}=x_1,y_1,z_1,mathbf{c}$为棱的平行六面体的体积mathbf{b}=x_2,y_2,z_2,mathbf{c}=x_3,y_3,z_3$,则混合积的计算公式为$V=|mathbf{a}cdot mathbf{b}cdotmathbf{c}|$混合积的运算性质性质1混合积为0当且仅当至少有两个向量共线性质2若$mathbf{a},mathbf{b},mathbf{c}$共面,则混合积为0性质3混合积的绝对值等于三个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积,即$|mathbf{a}cdot mathbf{b}cdot mathbf{c}|=|x_1x_2x_3+y_1y_2y_3+z_1z_2z_3|=|mathbf{a}||mathbf{b}||mathbf{c}|costheta$THANKS感谢观看。