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文本内容:
大学概率期末复习•概率论基础•随机变量及其分布•随机过程与马尔科夫链•大数定律与中心极限定理目•参数估计与假设检验•贝叶斯统计推断录contents01概率论基础概率的定义与性质总结词理解概率的基本定义和性质是学习概率论的基础详细描述概率是描述随机事件发生可能性的数学工具,其值在0到1之间概率的性质包括概率的规范性、概率的可加性和概率的可乘性等条件概率与独立性总结词理解条件概率和独立性的概念对于解决概率问题至关重要详细描述条件概率是指在某个已知条件下,某个事件发生的概率独立性是指两个事件之间没有相互影响,一个事件的发生不会影响另一个事件发生的概率贝叶斯定理总结词贝叶斯定理是概率论中的一个重要定理,用于计算在已知某些证据的情况下,某个事件发生的概率详细描述贝叶斯定理提供了一种方法,可以将先验概率、似然函数和证据结合起来,计算出后验概率这对于决策制定和推理具有重要意义02随机变量及其分布离散随机变量离散随机变量定义离散随机变量是在一定范围内可以一一列举出来的随机变量,其取值范围称为样本空间,样本空间中的每一个元素称为样本点离散随机变量的概率分布离散随机变量的概率分布是指每个样本点的概率,这些概率满足非负性、规范性、完备性常见的离散随机变量二项式随机变量、泊松随机变量等连续随机变量连续随机变量定义连续随机变量是在一定区间内可以连续取值的随机变量,其取值范围称为连续样本空间连续随机变量的概率分布连续随机变量的概率分布可以用概率密度函数表示,概率密度函数满足非负性、规范性、完备性常见的连续随机变量正态随机变量、指数随机变量等随机变量的函数变换函数变换的定义函数变换的性质常见的函数变换对于一个随机变量X,如果存在一个函数变换后的随机变量与原随机变量线性变换、指数变换、对数变换等函数fX,使得fX也是一个随机变具有相同的概率分布或不同的概率分量,那么称fX为X的函数变换布,取决于函数的形式随机变量的数字特征方差方差是描述随机变量取值分散程度的数字特征,其数学期望计算公式为DX=E[X−EX^2]=∑x^2px−[EX]^2数学期望是描述随机变量取值的平均水平的数字特征,其计算公式为EX=∑xpx协方差与相关系数协方差是描述两个随机变量共同变动的数字特征,相关系数是协方差的归一化形式03随机过程与马尔科夫链随机过程的基本概念随机过程随机过程是一系列随机变量的集合,每个随机变量对应一个时间点或状态随机过程的分类根据不同特性,随机过程可分为离散随机过程和连续随机过程随机过程的数学描述通过概率分布函数、概率密度函数等数学工具描述随机过程的统计特性马尔科夫链马尔科夫链定义马尔科夫链的性质马尔科夫链是一种特殊的随机过程,其未来状马尔科夫链具有无后效性、可预测性和平稳性态只取决于当前状态,与过去状态无关等特性马尔科夫链的应用马尔科夫链在经济学、社会学、生物学等领域有广泛应用遍历性与平稳分布遍历性如果一个马尔科夫链的任意状态经过足够长时间后将以概率1访问,则称该马尔科夫链具有遍历性平稳分布在遍历性的条件下,如果一个马尔科夫链存在一个概率分布,使得在每一步转移中,该分布保持不变,则称该分布为平稳分布遍历性与平稳分布的关系遍历性是平稳分布存在的必要条件,但不是充分条件04大数定律与中心极限定理大数定律大数定律定义辛钦大数定律大数定律是指在大量重复实设X1,X2,...Xn为相互独立同分验中,某一事件发生的频率布的随机变量序列,且数学将趋近于该事件发生的概率期望EXk=μ,方差DXk=σ^2∞k=1,2,...,n,则limn-∞1/n∑k=1-nXk-μ=0伯努利大数定律在n次独立重复实验中,某一事件A发生的频率趋近于该事件发生的概率p,即limn-∞n/nA=p,其中nA表示事件A发生的次数中心极限定理中心极限定理定义01中心极限定理是指在大量独立同分布的随机变量中,不论这些随机变量的分布是什么,它们的平均值的分布都趋近于正态分布棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理02设X1,X2,...Xn为相互独立同分布的随机变量序列,且数学期望EXk=μ,方差DXk=σ^2∞k=1,2,...,n,则limn-∞1/√n∑k=1-n Xk-μ=N0,σ^2李雅普诺夫中心极限定理03设fnx为n个相互独立同分布的随机变量函数X1,X2,...Xn的概率函数,则对于任意x,limn-∞fnx=fx,其中fx为标准正态分布的概率函数切比雪夫不等式与弱大数定律切比雪夫不等式弱大数定律对于任意的随机变量X,有P|X-EX|≥设X1,X2,...Xn为相互独立同分布的随机变kσX≤1/k^2,其中EX为数学期望,量序列,且数学期望EXk=μ,方差σX为标准差VS DXk=σ^2∞k=1,2,...,n,则limn-∞1/n∑k=1-n Xk-μ^2=σ^205参数估计与假设检验点估计与区间估计点估计用样本统计量(如样本均值、样本比例等)作为总体参数的估计值区间估计根据样本信息,给出总体参数可能存在的区间范围置信区间在一定置信水平下,估计参数所在的区间范围误差限区间估计的精度,即区间宽度假设检验的基本概念0102假设检验零假设与对立假设根据样本信息,对总体参数或分布假设检验中的两种假设,其中零假形式做出推断设通常为无差异或无关系显著性水平拒绝域与接受域假设检验中判断差异是否显著的临根据显著性水平确定的判断差异是界值否显著的区域0304单侧假设检验单侧检验的应用场景如检验平均值是否显著大于单侧检验的拒绝域某个值,或比例是否显著大于或小于某个值只包含一个方向的差异的区单侧检验域只考虑参数大于或小于某个值的检验双侧假设检验010203双侧检验双侧检验的拒绝域双侧检验的应用场景同时考虑参数大于和小于某个值包含两个方向的差异的区域如检验平均值是否显著不等于某的检验个值,或比例是否显著不等于某个值06贝叶斯统计推断贝叶斯推断的基本概念贝叶斯推断先验概率基于贝叶斯定理,利用已知信息更新概率的在观察数据之前,对事件发生的概率的主观过程估计后验概率似然函数在观察数据后,根据先验信息和数据更新后描述数据与参数之间的关系,用于评估参数的概率估计的取值可能性贝叶斯推断的步骤与实例步骤设定先验分布、计算似然函数、更新先验分布得到后验分布、进行决策实例假设某事件A发生的概率为PA,通过观察n次独立重复试验中事件A发生的次数,利用贝叶斯定理更新对PA的估计贝叶斯决策分析优势应用场景注意事项贝叶斯统计推断能够综合考虑先在金融、医疗、人工智能等领域先验信息的获取和主观判断的准验信息和数据信息,给出更准确有广泛应用,如风险评估、疾病确性对贝叶斯推断的结果影响较的概率估计诊断、机器学习等大,需要谨慎处理THANK YOU。