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近世代数课件从“群”谈起•群的定义与性质•群的基本运算目录•群的同态与同构•群的子群与商群•群的表示与分类01群的定义与性质群的定义定义一个群是一个非空集合G,它有一个二元运算(通常表示为“⋅”或“×”)满足结合律,并且G中有一个元素e称为单位元,对于G中的每个元素a,存在一个元素a^-1使得a⋅a^-1=a^-1⋅a=e例子整数集合在加法下是一个群,实数集合在乘法下是一个群群的性质性质封闭性,即对于任意的a,b∈G,有a⋅b∈G;结合律,即对于任意的a,b,c∈G,有a⋅b⋅c=a⋅b⋅c;单位元存在,即存在一个元素e∈G使得对于所有的a∈G,有a⋅e=e⋅a=a;逆元存在,即对于所有的a∈G,存在一个元素a^-1∈G使得a⋅a^-1=e例子整数集合在加法下是一个群,满足封闭性、结合律、单位元存在和逆元存在群在数学中的应用应用在数学中,群的概念被广泛应用,例如在几何学中,通过定义一个变换群可以对几何图形进行变换;在代数学中,通过定义一个代数群可以对代数式进行变换;在物理学中,通过定义一个物理群可以对物理现象进行描述例子在几何学中,可以通过定义一个旋转变换群对平面图形进行旋转;在代数学中,可以通过定义一个多项式变换群对多项式进行变换;在物理学中,可以通过定义一个洛伦兹变换群对相对论中的物理现象进行描述02群的基本运算群的加法运算定义结合律在群中,元素的加法运算是一群中任意三个元素的加法满足种二元运算,满足封闭性、结结合律,即a+b+c=a+b+c合律和单位元存在性封闭性单位元存在性群中任意两个元素的加法结果群中存在一个元素e,使得对于仍属于群任意元素a,都有e+a=a+e=a群的乘法运算封闭性定义群中任意两个元素的乘法结果仍属于群在群中,元素的乘法运算是一种二元02运算,满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性结合律0103群中任意三个元素的乘法满足结合律,即a×b×c=a×b×c逆元存在性对于任意元素a,群中存在一个元素b,使得a×b=b×a=e,其中e为单位元0504单位元存在性群中存在一个元素e,使得对于任意元素a,都有e×a=a×e=a群的逆元与单位元逆元对于任意元素a,如果存在一个元素b使得a×b=b×a=e,则称b为a的逆元单位元在群中,如果存在一个元素e,使得对于任意元素a,都有e×a=a×e=a,则称e为单位元03群的同态与同构同态的定义与性质同态的定义设$G$和$H$是两个群,如果存在一个映射$varphi:G rightarrow H$,满足$varphiab=varphia varphib$,则称$varphi$是$G$到$H$的同态映射同态的性质同态映射保持了群中的运算性质,即$varphia varphib=varphiab$同态映射不一定是满射或一一映射,但同构映射是一一映射同构的定义与性质同构的定义同构的性质如果存在一个一一映射$varphi:G同构的群具有相同的性质,如阶数、元素rightarrowH$,满足$varphiab=个数等同构映射是一一映射,且保持了varphia varphib$,则称$G$和VS群中的运算性质$H$是同构的同态与同构的应用同态的应用在数学中,同态的概念被广泛应用于各种不同的领域,如代数学、几何学、拓扑学等在代数学中,群的同态可以用来研究群的性质和结构同构的应用在数学中,同构的概念也具有广泛的应用例如,在数论中,整数模n的剩余类环与模n的多项式环是同构的此外,同构的概念也被应用于其他领域,如物理学、工程学等04群的子群与商群子群的定义与性质要点一要点二子群子群的性质如果集合$H$满足$H subseteqG$且$H$也满足群的定义,子群仍然满足群的结合律,即对于$H$中的任意元素$a,b,则称$H$为群$G$的子群c$,有$a cdotb cdotc=a cdotb cdotc$商群的定义与性质商群商群的性质设$G$是一个群,$H$是$G$的子群,如果商群是唯一的,即如果存在两个商映射,则存在一个从$G$到$H$的映射,使得每个元它们是等价的素在映射下都对应一个唯一的元素,则称这个映射为商映射,其对应的商群称为商群子群与商群的应用子群的应用商群的应用子群在数学中有着广泛的应用,如在模论、代数几何、商群在代数中也有着广泛的应用,如在同调代数、代拓扑等领域中,子群的概念都是非常重要的数几何等领域中,商群的概念也是非常重要的同时,商群也是研究群的同态和同构的重要工具05群的表示与分类群的表示方法矩阵表示法通过矩阵来表示群中的元素,以及元素间的运算关系符号表示法用符号表示群中的元素,如用$a$表示一个元素文字表示法用文字描述群中的元素,如用“全集”表示一个群群的分类方法循环群由一个元素生成的群交换群满足交换律的群有限群元素个数有限的群阿贝尔群满足结合律的群群的表示与分类的应用密码学物理学群的表示方法在密码学中用于加密和解密操群的分类方法在物理学中用于描述对称性作化学计算机科学群的分类方法在化学中用于描述分子结构群的分类方法在计算机科学中用于描述数据结构感谢观看THANKS。