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高数函数的极限•引言•极限的定义•极限的运算CATALOGUE•重要极限目录•无穷小与无穷大•函数的连续性01引言课程背景极限是高等数学中的基本概念,是研究函数的重要工具通过学习极限,可以理解函数的变化趋势和行为,为后续学习导数、积分等概念打下基础课程目标掌握极限的定义和性质,理解极限的思想和方法1学习并掌握极限的运算法则和求法,包括四则运2算、等价无穷小、洛必达法则等理解极限在解决实际问题中的应用,培养数学建3模的能力02极限的定义数列的极限定义对于数列${a_n}$,如果当$n$趋于无穷大时,$a_n$趋于某个常数$a$,则称数列${a_n}$收敛于$a$,记作$lim_{n toinfty}a_n=a$性质如果$lim_{n toinfty}a_n=a$且$lim_{n toinfty}b_n=b$,则$lim_{n toinfty}a_n+b_n=a+b$,$lim_{n toinfty}a_n-b_n=a-b$,$lim_{n toinfty}a_nb_n=ab$函数的极限定义对于函数$fx$,如果当$x$趋于某个值$a$时,$fx$趋于某个常数$L$,则称函数$fx$在点$a$处收敛于$L$,记作$lim_{x toa}fx=L$性质如果$lim_{x toa}fx=L$且$lim_{x toa}gx=M$,则$lim_{x toa}fx+gx=L+M$,$lim_{x toa}fx-gx=L-M$,$lim_{x toa}fxgx=LM$极限的性质唯一性如果$lim_{x toa}fx=L$且$lim_{x toa}gx=L$,则函数$fx$和$gx$在点$a$处都收敛于$L$无穷性如果$lim_{x toa}fx$不存在,则函数$fx$在点$a$处发散有界性如果$lim_{x toa}fx=L$且存在常数$M|L|$,使得当$0|x-a|delta$时,有$-MfxM$,则函数$fx$在点$a$处有界03极限的运算极限的四则运算加法法则limx→x0[fx+gx]=limx→x0fx+limx→x0gx减法法则limx→x0[fx-gx]=limx→x0fx-limx→x0gx乘法法则limx→x0[fx×gx]=limx→x0fx×limx→x0gx除法法则limx→x0[fx/gx]=limx→x0fx/limx→x0gx,当limx→x0gx≠0复合函数的极限复合函数的极限是函数极限的重要内容,是指将复合函数分解为基本初等函数或简单函数,然后分别求极限复合函数的极限运算需要遵循一定的规则,如内外函数同增异减、同减异增等,以确保极限的正确性反函数的极限01反函数的极限是函数极限的另一个重要内容,是指求反函数在某点的极限值02求反函数的极限时,需要先求出反函数的表达式,然后代入自变量或因变量的值进行计算03在求反函数的极限时,需要注意反函数的定义域和值域,以确保所求的极限值在定义域内04重要极限重要极限一总结词该极限描述了函数在x趋近于0时的行为,是自然常数e的来源详细描述当x趋近于0时,1+x^1/x的极限值等于e,这是数学中自然常数e的一个重要性质这个极限在微积分、概率论和复变函数等领域有广泛的应用重要极限二总结词该极限描述了正弦函数和线性函数在x趋近于0时的逼近程度详细描述当x趋近于0时,sinx/x的极限值等于1,这个极限说明了正弦函数在x=0处的切线斜率为1这个极限在求取复杂函数的导数和解决一些微积分问题时非常有用重要极限三总结词该极限描述了当x趋近于无穷大时,函数值的变化趋势详细描述当x趋近于无穷大时,x^n/n!的极限值等于0,这个极限说明了当x的值非常大时,函数值会迅速趋近于0这个极限在解决一些关于无穷大的数学问题时非常有用05无穷小与无穷大无穷小的定义与性质定义性质无穷小是极限为零的变量无穷小具有可加性、可减性、可乘性和可除性应用在求极限的过程中,无穷小可以用来化简复杂的表达式无穷大的定义与性质定义无穷大是极限为无穷的变量性质应用无穷大具有可加性、可减性、可乘性和可除在研究函数的单调性和极限时,无穷大是一性个重要的概念无穷小与无穷大的关系无穷小乘以无穷大不一定等于无穷大,例如0*∞=0无穷小除以无穷小也不一定等于零,例如1/∞=006函数的连续性连续性的定义连续性如果函数在某点的极限值等于该点的函数值,则函数在该点连续左极限当x趋向于某值时,函数值的极限值右极限当x趋向于某值时,函数值的极限值连续函数的性质010203闭区间上连续函数闭区间上连续函数闭区间上连续函数有界性存在性可积性在闭区间上连续的函数一定有界在闭区间上连续的函数一定存在在闭区间上连续的函数一定可积最大值和最小值函数的间断点第一类间断点第二类间断点函数在间断点的左右极限都存在,包括函数在间断点的左右极限至少有一个不存可去间断点和跳跃间断点在,包括无穷间断点和震荡间断点VSTHANKS感谢观看。