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文本内容:
《向量组的秩》PPT课件•向量组的秩的定义•向量组的秩的计算方法•向量组的秩的应用CATALOGUE•向量组的秩的定理和推论目录•向量组的秩的习题和解析01向量组的秩的定义线性无关与线性相关线性无关向量组中任意一组不全为零的数k₁,k₂,...,kn,满足k₁a₁+k₂a₂+...+knan=0,则称向量组a₁,a₂,...,an线性无关线性相关如果存在不全为零的数k₁,k₂,...,kn,使得k₁a₁+k₂a₂+...+knan=0,则称向量组a₁,a₂,...,an线性相关向量组的秩的定义最大线性无关组向量组的秩的性质向量组的秩向量组中线性无关向量的个数在给定向量组中,选取的线性如果向量组a₁,a₂,...,an线称为向量组的秩无关向量组中含有的向量个数性相关,则其秩小于向量的个最多的线性无关组数;反之,如果向量组a₁,a₂,...,an线性无关,则其秩等于向量的个数向量组秩的性质性质1向量组的秩是唯一的性质2如果向量组a₁,a₂,...,an可以由向量组b₁,b₂,...,bn线性表示,那么向量组a₁,a₂,...,an的秩不大于向量组b₁,b₂,...,bn的秩性质3如果向量组a₁,a₂,...,an和向量组b₁,b₂,...,bn的秩相等,且它们之间可以相互线性表示,那么这两个向量组等价02向量组的秩的计算方法初等行变换法定义步骤注意事项通过行变换将矩阵化为阶梯形矩对矩阵进行初等行变换,将其化初等行变换包括交换两行、将某阵,其中非零行的行数即为向量为阶梯形矩阵,阶梯形矩阵中非一行乘以非零常数、将某一行加组的秩零行的行数即为向量组的秩到另一行等操作初等列变换法010203定义步骤注意事项通过列变换将矩阵化为阶梯形矩对矩阵进行初等列变换,将其化初等列变换包括交换两列、将某阵,其中非零列的列数即为向量为阶梯形矩阵,阶梯形矩阵中非一列乘以非零常数、将某一列加组的秩零列的列数即为向量组的秩到另一列等操作矩阵的秩的性质性质1矩阵的秩等于其转置矩阵的秩性质2矩阵的乘积的秩不超过因子矩阵的秩之和性质3若矩阵A的某一行或某一列是零向量,则A的秩至少减少1性质4若矩阵A中存在一个非零子式,则A的秩至少为203向量组的秩的应用在线性方程组中的应用线性方程组的解与向量组的秩的关系向量组的秩决定了线性方程组是否有解,以及解的个数当方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时,方程组有解;否则,无解向量组的秩在求解线性方程组中的应用通过判断向量组的秩,可以确定线性方程组是否有唯一解、无穷多解或无解,从而选择合适的求解方法在矩阵分解中的应用向量组的秩与矩阵分解的关系矩阵的秩等于其行向量组的秩,也等于其列向量组的秩通过矩阵分解,可以将一个复杂的矩阵表示为几个简单的、易于处理的矩阵的乘积向量组的秩在矩阵分解中的应用在矩阵分解的过程中,可以利用向量组的秩来保证分解的正确性和稳定性例如,在奇异值分解中,奇异值的个数等于矩阵的秩在向量空间中的应用向量组的秩与向量空间的关系向量组的秩等于其所在线性子空间的维数通过研究向量组的秩,可以了解向量空间的结构和性质向量组的秩在向量空间中的应用在向量空间中,可以利用向量组的秩来判断一个向量是否属于某个子空间,以及子空间的维数和基底此外,向量组的秩还可以用于研究向量的线性相关性、独立性和正交性等性质04向量组的秩的定理和推论向量组的秩的定理定理1向量组的秩等于其最大线性无关组所含向量的个数定理2向量组的秩等于该组所含列向量构成的矩阵的秩定理3若向量组A可由向量组B线性表示,则A的秩不大于B的秩向量组的秩的推论推论1推论2若向量组A线性相关,则A的秩小于A中向量的若向量组A线性无关,则A的秩等于A中向量的个数个数推论3若矩阵A的行(或列)向量线性相关,则A的秩小于其行(或列)向量的个数向量组的秩的证明方法方法101通过定义法证明,即证明向量组中任意r+1个向量都线性相关方法202通过构造法证明,即构造一个与给定向量组等价的向量组,证明新向量组的秩小于原向量组的秩方法303通过反证法证明,即假设结论不成立,推出矛盾,从而证明结论成立05向量组的秩的习题和解析向量组的秩的习题题目1已知向量组$alpha_1,alpha_2,alpha_3$的秩为$r$,向量组$alpha_1,alpha_2,alpha_3,beta$的秩为$r+1$,则向量$beta$的秩为____题目2已知向量组$alpha_1,alpha_2,alpha_3$的秩为$r$,向量组$alpha_1,alpha_2,alpha_3,beta$的秩为$r+1$,则向量$beta$的秩为____题目3已知向量组$alpha_1,alpha_2,alpha_3$的秩为$r$,向量组$alpha_1,alpha_2,alpha_3,beta$的秩为$r+1$,则向量$beta$的秩为____向量组的秩的解析方法方法1利用向量组的线性组合性质,通过逐步化简向量组来求解方法2利用矩阵的初等变换,将向量组转化为行最简形矩阵,从而得到向量组的秩方法3利用向量组的线性相关性性质,通过求解方程组来求解向量组的秩的解题技巧技巧1注意观察题目中给出的条件,利用已知条件进行推导技巧2技巧3在解题过程中,要注意利用向量的线性组合在求解过程中,要注意利用矩阵的初等变换和线性相关性性质和行最简形矩阵的性质感谢您的观看THANKS。