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《计算数论复习提纲》ppt课件•计算数论简介•基础知识回顾•重要定理与结论•算法与数据结构•实际应用案例分析•复习题与练习题01计算数论简介定义与背景010203计算数论是数论的一个重要分它起源于古代数学,随着计算计算数论在密码学、计算机科支,主要研究数学中的计算问机技术的发展而逐渐发展壮大,学、信息科学等领域有着广泛题,特别是与整数、同余式、成为现代数学的一个重要领域的应用素数等相关的计算问题计算数论的应用领域密码学计算数论提供了许多加密算法和哈希函数的基础,1如RSA算法、Diffie-Hellman密钥交换协议等计算机科学计算数论在计算机科学中有着广泛的应用,如计2算机图形学、计算机密码学、计算机算法设计等领域信息科学计算数论在信息科学中也有着广泛的应用,如数3据加密、信息隐藏、数字水印等领域计算数论的发展历程古代数学时期01古代数学家就开始研究与计算数论相关的内容,如欧几里得算法用于求两个整数的最大公约数近代数学时期02随着数学的发展,越来越多的数学家开始关注计算数论,如费马小定理、欧拉定理等计算机技术发展时期03随着计算机技术的不断发展,计算数论得到了广泛的应用和发展,成为现代数学的一个重要分支02基础知识回顾素数与合数0102素数合数只有1和本身两个正因数的正整数除了1和本身还有其他正因数的正整数素数的判定合数的分解除了1和本身外,没有其他因数的数将合数分解为若干个素数的乘积就是素数0304最大公约数与最小公倍数最大公约数两个或多个整数共有的最大的正因数最小公倍数两个或多个整数共有的最小的正倍数最大公约数的求法辗转相除法、欧几里得算法等最小公倍数的求法两数乘积除以它们的最大公约数同余方程与线性方程组同余方程线性方程组形如ax≡bmod m的方程,其中a、b、m一组包含n个未知数的线性方程,形如都是整数,x是未知数a1x1+a2x2+…+anxn=b,其中a
1、a
2、…、an和b都是已知整数线性方程组的解法同余方程的解法高斯消元法、LU分解等模逆元法、扩展欧几里得算法等模运算与快速幂算法快速幂算法一种快速计算a^n modm的高效算法,其中a、n和m都是整数模运算取余运算,形如a modm,其中a和m都是整数,结果在0到m-1之间快速幂算法的实现利用二分法将指数n分解为二进制形式,然后利用幂的乘方和模运算的性模运算的性质质进行计算同余运算的消去律、模运算的分配律等03重要定理与结论费马小定理总结词费马小定理是数论中的一个重要定理,它提供了判断一个数是否为质数的方法详细描述费马小定理指出,如果p是一个质数,a是一个整数,且a不能被p整除,那么a^p-1≡1mod p这个定理可以用于快速筛选出合数,从而缩小质数的搜索范围中国剩余定理总结词中国剩余定理是数论中一个非常有用的定理,它解决了线性同余方程组的求解问题详细描述中国剩余定理允许我们找到一组线性同余方程的解,只要我们知道每个方程的解模某个质数的余数这个定理在编码理论、密码学和计算机科学中有广泛的应用欧拉定理与费马大定理总结词欧拉定理和费马大定理是数论中两个著名的定理,它们涉及到数的幂次和模运算的性质详细描述欧拉定理指出,对于任何整数a和正整数n,a^n≡a modn当且仅当n是质数费马大定理则指出,不存在整数x、y、z和n,使得x^n+y^n=z^n这个定理在数论和代数几何中有重要的应用素性检验与因数分解总结词素性检验和因数分解是数论中两个基本的问题,它们涉及到数的质因数分解和素数判断详细描述素性检验是判断一个给定的数是质数还是合数的算法常见的素性检验算法有米勒-拉宾素性检验、AKS素性检验等因数分解是将一个合数分解为若干个质数的乘积的形式常见的因数分解算法有试除法、质因数分解等04算法与数据结构哈希表与数据压缩哈希表哈希表是一种通过哈希函数将键映射到桶中的数据结构,用于快速查找、插入和删除数据哈希表的性能取决于哈希函数的散列性和桶的平衡性数据压缩数据压缩是一种通过减少数据表示的冗余和相关性来减少存储空间和传输时间的技术常见的数据压缩算法包括无损压缩和有损压缩,如Huffman编码、LZ77和JPEG等分治算法与快速排序分治算法快速排序分治算法是一种将问题分解为若干个子问题,快速排序是一种高效的排序算法,其平均时递归地解决子问题,并将子问题的解合并为间复杂度为Onlogn快速排序的基本思原问题的解的算法快速排序是分治算法的想是通过一趟排序将待排序的数据分割成独典型例子,通过选择一个基准元素,将数组立的两部分,其中一部分的所有数据都比另分为两部分,小于和大于基准的元素,然后一部分的所有数据要小,然后再按此方法对递归地对这两部分进行排序这两部分数据分别进行快速排序,整个过程可以递归进行,以此达到整个数据变成有序序列数论算法与应用数论算法应用数论算法是一类基于数学领域的算法,数论算法在密码学、计算机图形学、计算主要用于整数分解、素数检测、离散对机视觉等领域有广泛的应用例如,RSA数等问题常见的数论算法包括VS公钥加密算法就是基于数论的原理设计的Pollards rho算法、Lucas-Lehmer算法等图论算法与最短路径问题图论算法最短路径问题图论算法是一类用于解决图论问题的算法最短路径问题是图论中的一个经典问题,旨图论是研究图(由顶点和边构成的集合)的在找到图中两个顶点之间的最短路径数学理论常见的图论算法包括深度优先搜Dijkstra算法是一种用于解决单源最短路径索、广度优先搜索、Dijkstra算法等问题的经典算法,其时间复杂度为Onlogn05实际应用案例分析RSA加密算法原理与实践要点一要点二RSA加密算法原理RSA算法实践RSA是一种非对称加密算法,基于数论中的一些基本概念,在实际应用中,RSA算法通常用于加密对称密钥或对数据包括大数分解的困难性和模幂运算的性质RSA加密算法进行签名为了提高加密速度,通常使用对称加密算法由三个部分组成密钥生成、加密和解密(如AES)对实际数据进行加密,然后使用RSA算法加密对称密钥数字签名技术与应用数字签名原理数字签名应用数字签名利用了哈希函数和公钥加密算法的特性,能够数字签名广泛应用于电子政务、电子商务和网络安全等对数据进行签名并验证数据的完整性和真实性数字签领域例如,在电子投票中,数字签名可以确保投票的名可以用于实现身份认证、数据完整性校验以及不可抵匿名性和不可篡改性赖性密码学中的数论应用数论在密码学中的应用数论在密码分析中的应用数论作为数学的一个分支,为密码学提供了丰富的理密码分析是密码学的一个重要分支,旨在破解加密算论基础和工具例如,基于数论的Diffie-Hellman密法或获取未授权访问的信息数论在密码分析中发挥钥交换协议实现了安全通信的前提条件——双方在不了关键作用,例如在频数分析中利用数学性质来破解安全的通道上协商出一个安全的密钥加密算法数论在计算机图形学中的应用数论在计算机图形学中的应用数论在图形学中的具体应用计算机图形学是研究计算机生成和操作图形的科学在几何计算中,数论提供了解决几何问题的数学工具,数论在计算机图形学中有广泛的应用,例如几何计算、如线性代数和射影几何等;在图像编码中,数论的哈夫图像编码和加密等曼编码等方法可以用于压缩图像数据;在图像加密中,数论的加密算法可以用于保护图像数据的隐私和安全06复习题与练习题选择题与填空题选择题考察基础概念和基本性质的理解,如质数、合数、最大公约数、最小公倍数等填空题考察对计算数论中一些关键公式和定理的掌握,如费马小定理、中国剩余定理等简答题与证明题简答题考察对计算数论中一些重要概念和性质的理解,如模运算、同余方程等证明题考察对计算数论中一些重要定理和推论的证明能力,如中国剩余定理的证明、费马小定理的证明等计算题与应用题计算题考察对计算数论中一些基本算法和技巧的掌握,如求最大公约数、最小公倍数、解同余方程等应用题考察将计算数论知识应用于实际问题的能力,如密码学中的应用、数论在计算机科学中的应用等THANKS感谢观看。