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《偏导数定义》ppt课件•偏导数定义•偏导数的计算•偏导数的应用•偏导数与连续性•偏导数的性质01偏导数定义偏导数的定义偏导数的定义对于一个多变量函数,如果一个变量变化时,其余变量保持不变,那么这个变量对函数的导数称为偏导数偏导数的求法通过求极限的方式计算偏导数,具体方法包括求导法则、链式法则和隐函数求导法则等偏导数的几何意义切线斜率对于二维平面上的曲线,偏导数表示曲线在某一点的切线斜率例如,函数fx,y=x^2+y^2在点x0,y0处的偏导数表示曲线在该点的切线斜率曲面在某点的法线方向对于三维空间中的曲面,偏导数表示曲面在某一点的法线方向例如,函数z=fx,y在点x0,y0,z0处的偏导数表示曲面在该点的法线方向偏导数的物理意义速度与方向在物理中,偏导数可以用来描述速度或加速度的方向变化例如,在二维平面上的运动方程v=vxt+vyt,偏导数vxt和vyt分别表示物体在x方向和y方向上的速度变化率,即加速度热传导在热传导过程中,偏导数可以用来描述温度场的变化率例如,在二维平面上,函数Tx,y,t表示温度分布,偏导数T/x和T/y分别表示温度场在x方向和y方向上的变化率02偏导数的计算常数偏导数的计算总结词常数偏导数是偏导数的一种特殊情况,当函数中所有自变量都固定为常数时,函数的一阶导数即为常数偏导数详细描述常数偏导数的计算方法与一阶导数的计算方法相同,即根据导数定义和求导法则,对函数进行求导,得到一阶导数如果自变量在函数中固定为常数,则该一阶导数即为常数偏导数变量偏导数的计算总结词变量偏导数是偏导数的一种常见情况,当函数中部分自变量为变量时,函数的一阶导数即为变量偏导数详细描述变量偏导数的计算方法与一阶导数的计算方法相同,即根据导数定义和求导法则,对函数进行求导,得到一阶导数如果自变量在函数中为变量,则该一阶导数即为变量偏导数高阶偏导数的计算总结词高阶偏导数是偏导数的更高级形式,当函数的二阶或更高阶的一阶导数存在时,这些一阶导数称为高阶偏导数详细描述高阶偏导数的计算方法与一阶、二阶或更高阶的导数的计算方法相同,即根据高阶导数的定义和求导法则,对函数进行求导,得到高阶偏导数高阶偏导数的计算在多元函数的极值问题、泰勒展开等数学问题中有重要应用03偏导数的应用极值问题极值问题实际应用偏导数在求解函数的极值问题中有着在经济学、工程学等领域中,极值问重要的应用通过求偏导数并令其为题常常出现,利用偏导数可以方便地0,可以找到函数极值点,再进一步解决这些问题判断是极大值还是极小值判断条件除了求偏导数并令其为0外,还需满足一定的判断条件,如一阶导数测试、二阶导数测试等,以确保找到的点是极值点曲线的切线与法线偏导数的应用在求曲线的切线和法线时,需要用切线与法线的定义到偏导数通过求函数的偏导数,可以得到切线的斜率和法线的斜率切线是与曲线在某一点的附近的所有曲线都相切的直线,而法线是与切线垂直并通过切点的直线几何意义偏导数在几何上表示函数图像在某一点处的切线的斜率,因此对于研究曲线的形状和性质非常重要曲面的法线与切平面曲面法线与切平面的定义曲面在某一点的法线是与曲面在该点垂直的直线,而切平面是与曲面在某一点相切的平面偏导数的应用在求曲面的法线和切平面时,需要用到偏导数通过求函数的偏导数,可以得到法线的方向向量和切平面的方程几何意义偏导数在几何上表示曲面在某一点处的切平面的法向量,因此对于研究曲面的形状和性质非常重要04偏导数与连续性可微与连续的关系总结词可微函数在其定义域内是连续的,但连续函数不一定可微详细描述可微函数意味着函数在某一点的切线存在,这也就意味着函数在该点附近是连续的然而,存在一些连续函数在某一点处没有切线,因此它们不可微一阶偏导数与连续性总结词一阶偏导数表示函数在某一点处沿某一方向的导数,其存在性并不保证函数在该点处的连续性详细描述一阶偏导数表示函数在某一点处沿某一特定方向的导数然而,即使一阶偏导数存在,函数在该点处也不一定连续二阶偏导数与连续性总结词二阶偏导数表示函数在某一点处的两个方向的导数的变化率,其存在性并不保证函数在该点处的连续性详细描述二阶偏导数表示函数在某一点处的两个不同方向的导数的变化率然而,即使二阶偏导数存在,函数在该点处也不一定连续05偏导数的性质线性性质要点一要点二总结词详细描述线性性质是指偏导数在特定条件下具有线性性质,即对两设函数$fx,y$和$gx,y$在点$x_0,y_0$处可偏导,且个函数的和或差进行求导时,结果等于各自求导结果的线$gx_0,y_0neq0$,则$frac{partialf+g}{partial性组合x}x_0,y_0=frac{partial f}{partialx}x_0,y_0+frac{partial g}{partial x}x_0,y_0$,$frac{partialf-g}{partial x}x_0,y_0=frac{partialf}{partial x}x_0,y_0-frac{partial g}{partial x}x_0,y_0$链式法则总结词详细描述链式法则是指当一个复合函数求偏导数时,可以使用链设$u=gx,y$,$fu$可导,则$frac{partial f}{partial式法则来计算x}x,y=frac{partial f}{partial u}cdotfrac{partialu}{partial x}$,$frac{partial f}{partialy}x,y=frac{partial f}{partial u}cdotfrac{partialu}{partial y}$常数求导法则总结词详细描述常数求导法则是说常数在求偏导数时结设函数$fx,c$在点$x_0,c$处可偏导,果为零则$frac{partial f}{partial x}x_0,c=0$,VS其中$c$为常数THANKS感谢观看。