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《二重积分概念》ppt课件•二重积分的定义•二重积分的计算方法目录•二重积分的物理应用•二重积分的数学应用•二重积分的注意事项01二重积分的定义二重积分的几何意义二重积分表示的是二重积分表示的是二重积分表示的是体积面积质量当被积函数大于0时,二重积分表当被积函数小于0时,二重积分表当被积函数等于1时,二重积分表示以积分区域为底,垂直于z轴的示的是积分区域在xoy平面的投影示的是积分区域中的点所组成的柱体的体积面积物体的质量二重积分的代数定义01二重积分的一般形式为∫∫D fx,y dσ,其中fx,y是定义在D上的函数,dσ是面积元02二重积分的计算方法包括先一后二法、先二后一法和利用微元法进行计算03在计算过程中需要注意积分的上下限以及被积函数的定义域二重积分的性质010203线性性质估值性质积分中值定理∫∫fx,y+gx,y dσ=∫∫fx,y如果fx,y≥0,那么∫∫fx,y dσ如果fx,y在有界闭区域D上连续,dσ+∫∫gx,y dσ≤∫∫dσ那么存在点ξ,η∈D,使得∫∫fx,y dσ=fξ,η*∫∫dσ02二重积分的计算方法矩形区域上的二重积分总结词简单明了详细描述在矩形区域上的二重积分计算相对简单,只需要将矩形分成若干个小矩形,然后分别计算每个小矩形的积分值,最后求和即可平行四边形区域上的二重积分总结词需要调整坐标系详细描述对于平行四边形区域,需要先将坐标系调整到平行四边形的一组对角线上,然后将其分解成若干个小平行四边形,再分别计算每个小平行四边形的积分值,最后求和一般区域上的二重积分总结词复杂且需要技巧详细描述对于一般区域上的二重积分,计算过程较为复杂,需要使用微积分中的一些高级技巧,如换元法、分部积分法等同时,还需要根据不同的情况选择合适的坐标系和积分路径,以保证计算的准确性和高效性03二重积分的物理应用平面薄片的质量分布总结词详细描述描述平面薄片在不同密度分布下的质量在物理学中,平面薄片的质量分布可以通分布情况过二重积分来计算假设薄片的密度是VSρx,y,那么其质量M可以通过以下公式计算M=∫∫ρx,ydxdy,其中∫∫表示二重积分这个公式可以帮助我们了解薄片在各个位置的质量分布情况平面薄片的转动惯量总结词详细描述描述平面薄片的转动惯量与二重积分的关系转动惯量是描述物体转动惯性大小的物理量对于平面薄片来说,其转动惯量也可以通过二重积分来计算假设薄片的密度是ρx,y,那么其转动惯量I可以通过以下公式计算I=∫∫xρx,ydxdy+∫∫yρx,ydxdy,其中∫∫表示二重积分这个公式可以帮助我们了解薄片在不同位置的转动惯性大小平面薄片的引力场总结词详细描述描述平面薄片的引力场与二重积分的关系在物理学中,引力场是由物体的质量产生的对于平面薄片来说,其引力场也可以通过二重积分来计算假设薄片的密度是ρx,y,那么其在点x,y处产生的引力F可以通过以下公式计算F=-G∫∫ρx,ydxdy,其中G是万有引力常数,∫∫表示二重积分这个公式可以帮助我们了解薄片在各个位置产生的引力大小和方向04二重积分的数学应用平面图形的面积总结词通过二重积分可以计算平面图形的面积详细描述对于由连续曲面z=fx,y与平面z=cx所围成的空间区域,可以利用二重积分计算该区域的面积其中,fx,y表示曲面在点x,y处的函数值,cx表示平面在x处的函数值公式A=∫∫dxdy体积的计算总结词二重积分可以用于计算三维物体的体积详细描述对于由连续曲面z=fx,y与某个垂直平面所围成的空间区域,利用二重积分可以计算该区域的体积其中,fx,y表示曲面在点x,y处的函数值公式V=∫∫dxdy平面曲线下的面积总结词01二重积分可以用于计算平面曲线下的面积详细描述02对于由连续曲线y=fx与直线x=a、x=b以及x轴所围成的平面区域,可以利用二重积分计算该区域的面积其中,fx表示曲线在点x处的函数值,a和b分别表示区域的左右端点公式03A=∫ab∫fxdx05二重积分的注意事项积分区域的确定确定积分区域在计算二重积分时,首先需要明确积分的区域,即确定积分上下限理解区域特征根据积分区域的几何特征,理解被积函数的定义域,确保积分有意义注意无界区域在确定积分区域时,要特别注意积分区域是否有界,避免出现无界区域导致的积分错误积分次序的选择先二后一另一种选择是先对两个变量中的其中一个积分,然先一后二后再对另一个变量积分,即“先二后一”的积分次序在计算二重积分时,可以选择先对其中一个变量积分,然后再对另一个变量积分,即选取最优次序“先一后二”的积分次序根据具体问题,选择最优的积分次序以简化计算过程积分的换元法掌握基本概念选择合适的变量替换理解并掌握二重积分的换元法基本概念,了解根据被积函数和积分区域的特征,选择合适的如何通过换元法简化积分计算变量替换,使积分过程简化注意换元后的上下限在使用换元法时,需要注意换元后新的变量对应的积分上下限,确保积分的正确性。