线性代数课件2-2矩阵的运算

线性代数课件2-2矩阵的运算•矩阵的加法•矩阵的数乘•矩阵的乘法•矩阵的转置目录•矩阵的逆contents01矩阵的加法定义与性质定义矩阵的加法是将两个矩阵的对应元素相加，得到一个新的矩阵性质矩阵的加法满足交换律和结合律，即$A+B=B+A$和$A+B+C=A+B+C$矩阵加法的例子假设有两个矩阵$A=begin{bmatrix}1234end{bmatrix}$和$B=begin{bmatrix}5678end{bmatrix}$，则它们的和为$A+B=begin{bmatrix}681012end{bmatrix}$注意矩阵的加法仅适用于同阶矩阵，即行数和列数相同时才能进行加法运算矩阵加法的几何解释在二维空间中，两个矩阵$A$和$B$可以看作是两个线性变换，它们的和$A+B$表示这两个线性变换的叠加例如，考虑一个平面上的点集，矩阵$A$将该点集沿x轴方向拉伸2倍，而矩阵$B$将该点集沿y轴方向旋转45度则它们的和$A+B$表示将点集先沿x轴拉伸2倍，再沿y轴旋转45度02矩阵的数乘定义与性质定义数乘矩阵是将一个标量与矩阵中的每一个元素相乘性质数乘满足结合律、交换律和分配律，即对于任意标量$k$、$l$和矩阵$A$，有$k timesl timesA=k timesltimes A=k timesA timesl$，并且$k timesA+B=k timesA+k timesB$矩阵数乘的例子假设有一个矩阵$begin{bmatrix}1234end{bmatrix}$，如果用数$-2$与其相乘，结果为$begin{bmatrix}-2-4-6-8end{bmatrix}$如果用数$3$与其相乘，结果为$begin{bmatrix}36912end{bmatrix}$矩阵数乘的几何解释数乘矩阵可以理解为将原矩阵中的每一个元素都进行缩放在二维空间中，如果一个矩在三维空间中，数乘一个表示阵表示一个平面上的向量，旋转或平移的矩阵，相当于将那么数乘这个矩阵相当于将整个空间进行缩放或平移该向量进行缩放03矩阵的乘法定义与性质定义矩阵的乘法仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能进行设$A$是一个$m timesn$矩阵，$B$是一个$n timesp$矩阵，则$AB$是一个$m timesp$矩阵性质矩阵乘法满足结合律，即$ABC=ABC$；不满足交换律，即一般情况下$AB neqBA$矩阵乘法的例子设矩阵$A=begin{bmatrix}1234end{bmatrix}$，矩阵$B=begin{bmatrix}5678end{bmatrix}$，则$AB=begin{bmatrix}19224350end{bmatrix}$设矩阵$A=begin{bmatrix}1234end{bmatrix}$，矩阵$B=begin{bmatrix}56end{bmatrix}$，由于矩阵$B$的列数不等于矩阵$A$的行数，因此不能进行矩阵乘法矩阵乘法的几何解释•在二维空间中，设两个向量$\vec{a}=a_1,a_2$和$\vec{b}=b_1,b_2$，它们的点积为$a_1b_1+a_2b_2$通过矩阵表示，有$\vec{a}=\begin{bmatrix}a_1\a_2\end{bmatrix}$，$\vec{b}=\begin{bmatrix}b_1\b_2\end{bmatrix}$，则它们的点积可以表示为矩阵乘法$\vec{a}\cdot\vec{b}=\begin{bmatrix}a_1a_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\b_2\end{bmatrix}=a_1b_1+a_2b_2$04矩阵的转置定义与性质矩阵转置的定义01将矩阵的行列进行互换，得到一个新的矩阵矩阵转置的性质02转置矩阵的行变为列，列变为行，且转置矩阵的元素满足原矩阵元素的位置关系转置矩阵的记号03若原矩阵为$A$，则其转置矩阵记为$A^T$矩阵转置的例子假设有一个矩阵$A=begin{bmatrix}1234end{bmatrix}$，则其转置矩阵$A^T=begin{bmatrix}1324end{bmatrix}$若$B=begin{bmatrix}5678end{bmatrix}$，则$B^T=begin{bmatrix}5768end{bmatrix}$矩阵转置的几何解释在几何上，矩阵可以看作是线性变换若原矩阵表示一个将点或向量从某一的一种表示，而矩阵的转置则对应于坐标系变换到另一坐标系的过程，那线性变换的逆过程么其转置矩阵表示将点或向量从另一坐标系变换回原坐标系的过程VS05矩阵的逆定义与性质0103定义性质如果存在一个矩阵A的逆矩阵逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩A^-1，满足$AA^-1=I$，其阵，即$AA^-1=I$中I为单位矩阵，则称A为可逆矩阵0204性质性质逆矩阵具有唯一性，即如果A是可逆矩阵与原矩阵的行列式值互为逆矩阵，则A^-1也是唯一存在倒数，即$detA cdotdetA^-的1=1$矩阵逆的例子例子例子对于矩阵$A=begin{bmatrix}231对于矩阵$B=begin{bmatrix}4-3-12end{bmatrix}$，其逆矩阵$A^-1=2end{bmatrix}$，其逆矩阵$B^-1=begin{bmatrix}-frac{2}{5}frac{3}{5}begin{bmatrix}frac{1}{7}frac{3}{7}-frac{1}{5}-frac{2}{5}end{bmatrix}$frac{1}{7}frac{4}{7}end{bmatrix}$矩阵逆的几何解释几何解释矩阵的逆可以理解为在二维空间或更高维度空间中的一种“反转”或“倒置”操作如果一个矩阵表示一种线性变换，那么它的逆矩阵将表示该变换的逆变换几何解释在二维空间中，一个矩阵可以看作一个拉伸、旋转或剪切变换其逆矩阵则可以看作是该变换的逆操作，即将图形恢复到原始状态几何解释在三维空间中，矩阵的逆变换可以理解为对物体进行旋转、平移或缩放等操作后的恢复操作，使物体回到原始位置和方向THANKS感谢观看。