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线性代数课件4-3向量的内积和schmidt正交化contents•向量的内积•Schmidt正交化目录•向量的模•向量的外积01向量的内积CHAPTER向量内积的定义向量内积的定义为两个向量之间的点乘,记作$mathbf{u}cdot mathbf{v}$,计算公式为$mathbf{u}cdot mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+cdots+u_nv_n$,其中$mathbf{u}=u_1,u_2,ldots,u_n$和$mathbf{v}=v_1,v_2,ldots,v_n$向量内积的结果是一个标量,表示两个向量的相似程度向量内积的性质非负性分配律$mathbf{u}cdot mathbf{v}$mathbf{u}+mathbf{v}geq0$,当且仅当cdot mathbf{w}=mathbf{u}$mathbf{u}$与$mathbf{v}$同cdot mathbf{w}+mathbf{v}向或反向时取等号cdot mathbf{w}$交换律正交性质$mathbf{u}cdot mathbf{v}=若$mathbf{u}perpmathbf{v}cdot mathbf{u}$mathbf{v}$,则$mathbf{u}cdot mathbf{v}=0$向量内积的计算方法计算向量内积需要将两个向量的对应分量相乘后求和,即按照定义进行计算在计算过程中需要注意保持向量的顺序一致,即对应分量的乘积相加时,顺序要与向量的顺序一致对于向量的模长和夹角,可以通过向量内积进行计算,例如$|mathbf{u}|=sqrt{mathbf{u}cdotmathbf{u}}$,$costheta=frac{mathbf{u}cdot mathbf{v}}{|mathbf{u}||mathbf{v}|}$02Schmidt正交化CHAPTERSchmidt正交化的定义Schmidt正交化是一种将一组线性无关的向量正交化的方法,通过线性变换将一组非正交向量转化为正交向量组正交化过程是通过线性变换将原向量组中的每个向量与其余向量进行正交化,使得新生成的向量组满足正交条件Schmidt正交化的性质正交化后的向量组是正交的,即任意两个不同向1量的点积为0正交化后的向量组是单位向量组,即每个向量的2模长为1正交化后的向量组是线性无关的,即不存在不全3为零的系数使得这些系数的线性组合等于零向量Schmidt正交化的计算方法首先,将非正交向量组进行单位化,使得每个向量的模长为1然后,通过线性变换将每个向量与其余向量进行正交化,使得任意两个不同向量的点积为0最后,得到一组正交向量组,即为Schmidt正交化后的结果03向量的模CHAPTER向量模的定义定义对于向量$mathbf{a}=a_1,a_2,ldots,a_n$,其模定义为$|mathbf{a}|=sqrt{a_1^2+a_2^2+ldots+a_n^2}$几何意义向量$mathbf{a}$的模表示其在空间中从原点到点$a_1,a_2,ldots,a_n$的距离向量模的性质非负性齐次性$|mathbf{a}|geq0$,且当且仅当对于任意实数$k$,有$|kmathbf{a}|$mathbf{a}=mathbf{0}$时,=|k||mathbf{a}|$$|mathbf{a}|=0$三角不等式对于任意向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$,有$|mathbf{a}+mathbf{b}|leq|mathbf{a}|+|mathbf{b}|$向量模的计算方法定义法01直接利用向量的模的定义进行计算分解法02将向量分解为若干个已知模的向量之和,然后利用三角不等式进行计算投影法03将待求模的向量投影到已知模的向量上,利用投影长度和已知模的关系进行计算04向量的外积CHAPTER向量外积的定义定义对于向量a和b,它们的向量外积是一个向量c,记作c=a×b,其大小为|a×b|=|a||b|sinθ,其中θ是a和b之间的夹角几何意义向量外积表示垂直于向量a和b的向量,其方向遵循右手定则向量外积的性质反交换律分配律a×b=-b×a a×b+c=a×b+a×c结合律向量外积与向量的点乘无关对任意向量a、b、c,有|a×b|总是垂直于a和b,而与a和b的点乘结a×b×c=a×b×c=0果无关向量外积的计算方法010203计算公式计算步骤注意事项对于任意向量a=a1,a2,a3,首先计算各个分量,然后根据这在计算过程中要特别注意各分量b=b1,b2,b3,它们的向量外些分量构造向量c的正负号,以确保结果的正确性积c=a2×b3-a3×b2,a3×b1-a1×b3,a1×b2-a2×b1THANKS感谢观看。