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文本内容:
线性代数课件112-n阶行列式的定义•行列式的历史与发展contents•n阶行列式的定义与性质•n阶行列式的展开定理目录•n阶行列式的计算实例•行列式在几何中的应用01行列式的历史与发展早期行列式概念的形成18世纪行列式概念初现在解决线性方程组的过程中,行列式概念开始萌芽19世纪行列式理论初步建立数学家开始系统研究行列式的性质和运算规则,为后续发展奠定基础行列式理论的完善20世纪行列式理论体系逐渐成熟随着数学研究的深入,行列式理论体系逐渐完善,成为数学领域的重要分支当代行列式理论的进一步拓展数学家们继续探索行列式的更深层次性质和应用,推动其不断发展行列式在现代数学中的应用线性代数行列式是线性代数中的基本概念之一,广泛应用于矩阵运算、线性变换等领域微积分行列式在多元微积分中用于计算雅可比行列式、向量场等重要概念组合数学行列式在组合数学中用于研究排列组合问题,如杨辉三角等02n阶行列式的定义与性质n阶行列式的定义定义代数余子式行列式值n阶行列式表示为$|begin{matrix}$A_{ij}=-1^{i+j}M_{ij}$,其中$|D|=sum_{j=1}^{n}-a_{11}a_{12}cdotsa_{1n}$M_{ij}$是去掉元素$a_{ij}$所在的行1^{i+j}a_{ij}M_{ij}$,其中$D$是na_{21}a_{22}cdotsa_{2n}和列后得到的$n-1$阶行列式的值阶行列式vdotsvdotsddotsvdotsa_{n1}a_{n2}cdotsa_{nn}end{matrix}|$,其中$a_{ij}$是代数余子式,表示去掉元素$a_{ij}$所在的行和列后得到的$n-1$阶行列式的值行列式的性质交换律结合律行列式中任意两行交换位置,行列式的值不变行列式中行或列的乘法、加法运算不改变行列式的值分配律拉普拉斯展开式行列式中行或列的数与一个常数相乘,等于将这个常数分如果某一行(或列)的元素都是二项式,则该行(或列)别乘这个数所对应的行或列的每一个元素,再把所得的积的代数余子式之和等于该二项式的二项式系数乘以其余子相加式的代数和行列式的计算方法•展开法按照定义,将行列式展开为若干项代数余子式的乘积,然后进行计算•递推法利用已知的较低阶行列式的计算结果,推导出高阶行列式的计算公式•归纳法利用数学归纳法,通过递推公式归纳出行列式的计算公式•范德蒙德公式对于任意n个不全相同的有理数,有$\left|\begin{matrix}x_1x_2\cdots x_n\y_1y_2\cdots y_n\\vdots\vdots\ddots\vdots\z_1z_2\cdots z_n\end{matrix}\right|=x_1-x_2x_1-x_3\cdots x_1-x_n/y_1-z_1y_2-z_2\cdots y_n-z_n$03n阶行列式的展开定理代数余子式代数余子式01在n阶行列式中,去掉元素所在的行和列后,剩下的元素构成的二阶行列式称为该元素的代数余子式代数余子式的计算02代数余子式等于-1^i+j*二阶行列式的值,其中i和j分别为元素所在的行号和列号代数余子式的性质03代数余子式与元素所在的行和列的顺序无关,但与二阶行列式的计算有关代数余子式的性质代数余子式的线性性质对于任意实数k,代数余子式的线性性质表示为k*Aij=Aijk*v-Ajik*w,其中v和w分别为元素Aij所在的行向量和列向量代数余子式的反对称性质对于任意i≠j,代数余子式的反对称性质表示为Aij=-Aji代数余子式的归一化性质对于任意i,代数余子式的归一化性质表示为Ai1+Ai2+...+Ain=0行列式的展开定理行列式的展开定理行列式展开定理的应用n阶行列式等于其所有元素的代数余子式通过展开定理,可以将n阶行列式转化为的乘积之和,即D=Σ-1^i+j*Aij多个二阶行列式的乘积之和,从而简化计VS算过程04n阶行列式的计算实例二阶行列式的计算总结词二阶行列式计算相对简单,主要通过主对角线元素相乘减去副对角线元素相乘得到结果详细描述对于二阶行列式,其一般形式为二阶行列式的计算$$begin{vmatrix}二阶行列式的计算abcdend{vmatrix}二阶行列式的计算$$其计算公式为$ad-bc$三阶行列式的计算总结词三阶行列式计算涉及多个步骤,包括展开主对角线元素相乘、减去副对角线元素相乘等详细描述对于三阶行列式,其一般形式为三阶行列式的计算abc03begin{vmatrix}02$$01三阶行列式的计算01def02ghi03end{vmatrix}三阶行列式的计算$$其计算步骤包括展开主对角线元素相乘($aei+bfg-cde$)和减去副对角线元素相乘($afg+bdi+ceh$)n阶行列式的计算要点一要点二总结词详细描述n阶行列式的计算涉及多个步骤和公式,需要按照定义逐步n阶行列式的一般形式为展开n阶行列式的计算01$$02begin{vmatrix}03a_{11}a_{12}cdotsa_{1n}n阶行列式的计算a_{21}a_{22}cdots a_{2n}a_{n1}a_{n2}cdots a_{nn}vdotsvdotsddots vdotsn阶行列式的计算•\end{vmatrix}n阶行列式的计算$$其计算步骤包括展开主对角线元素相乘、减去副对角线元素相乘等,需要按照定义逐步展开05行列式在几何中的应用行列式在向量运算中的应用计算向量的模向量的外积行列式可以用于计算向量的模,即向量的大小行列式可以用于计算向量的外积,即向量的叉积向量的混合积行列式可以用于计算向量的混合积,即三个向量的体积行列式在解析几何中的应用计算平面图形的面积行列式可以用于计算平面图形的面积,特别是平行四边形和三角形计算空间图形的体积行列式可以用于计算空间图形的体积,特别是长方体和四面体计算线段的中点坐标行列式可以用于计算线段的中点坐标,即两个点的平均位置行列式在矩阵运算中的应用矩阵的行列式矩阵的行列式是矩阵的一种重要属性,可以用于计算矩阵的秩和特征值矩阵的逆矩阵的迹行列式可以用于计算矩阵的逆,即矩阵的倒行列式可以用于计算矩阵的迹,即矩阵对角数线元素的总和感谢您的观看THANKS。