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线性代数课件第2章矩阵•矩阵的定义与性质•矩阵的逆与行列式目录•矩阵的秩与线性方程组•矩阵的特征值与特征向量•矩阵的对角化与相似变换01矩阵的定义与性质矩阵的基本概念矩阵是一个由数字组矩阵通常用大写字母成的矩形阵列表示,如A、B等矩阵的行数和列数可以不同矩阵的运算规则加法乘法两个同维数的矩阵可以相加,对应元两个矩阵A和B相乘,要求A的列数等素相加于B的行数数乘一个标量与一个矩阵相乘,所有元素都乘以这个标量特殊类型的矩阵上三角矩阵主对角线以下的元素都为0的矩阵对角矩阵除了主对角线上的元素外,其他元素都为0的矩阵下三角矩阵主对角线以上的元素都为0的矩阵02矩阵的逆与行列式矩阵的逆矩阵的逆的定义如果一个矩阵A存在一个逆矩阵A^-1,使得AA^-1=I,则称A为可逆矩阵逆矩阵的性质逆矩阵是唯一的,且A^-1^-1=A逆矩阵的求法高斯-约当消元法、伴随矩阵法等方阵的行列式010203行列式的定义行列式的性质行列式的计算由n阶方阵A的元素构成的行列式具有连乘积的性质、利用代数余子式展开法、代数式称为A的行列式,行(列)互换性质、行递推法等记作detA或|A|(列)展开性质等行列式的性质与计算行列式的性质行列式的计算行列式的应用行列式与转置行列式相等、利用三角化方法、递推公行列式在解线性方程组、互换两行(列)行列式变式等简化计算过程向量空间、特征值等领域号、两行(列)成比例则有广泛应用行列式为零等03矩阵的秩与线性方程组矩阵的秩矩阵的秩定义秩的性质秩的计算方法矩阵的秩是其行向量组或列向量矩阵的秩具有一些重要的性质,可以通过初等行变换或初等列变组的一个极大线性无关组中向量如转置不改变矩阵的秩,矩阵乘换将矩阵化为阶梯形矩阵,从而的个数积的秩不超过乘积中矩阵秩的和得到矩阵的秩等线性方程组的解法高斯消元法通过将增广矩阵进行初等行变换,将其化为阶梯形矩阵,从而求解线性方程组回带求解法在得到阶梯形矩阵后,通过回带求解法得到方程组的解迭代法对于一些特殊类型的线性方程组,可以使用迭代法求解线性方程组解的结构解的唯一性当线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时,方程组有唯一解无解的情况当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时,方程组无解无数解的情况当系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩时,方程组有无穷多解04矩阵的特征值与特征向量特征值与特征向量的定义特征值对于给定的矩阵A,如果存在一个数λ和对应的非零向量x,使得Ax=λx成立,则称λ为矩阵A的特征值特征向量对于给定的矩阵A和特征值λ,如果存在一个非零向量x,使得Ax=λx成立,则称x为矩阵A对应于λ的特征向量特征值与特征向量的性质特征值和特征向量的唯一性01对于给定的矩阵A和特征值λ,对应于λ的特征向量可能不唯一,但任何两个对应于同一特征值的特征向量都正交特征值的代数重数02矩阵A的特征值的代数重数等于其对应的特征子空间的维数特征向量的几何重数03对于给定的特征值λ,其对应的特征子空间的维数等于该特征值的几何重数特征值与特征向量的计算方法定义法根据特征值和特征向量的定义,通过解线性方程组来计算特征值和特征向量相似变换法通过将矩阵相似变换为单位矩阵,然后通过比较相似矩阵的特征值来求解原矩阵的特征值和特征向量05矩阵的对角化与相似变换对角化矩阵的定义与性质对角化矩阵的定义唯一性如果存在可逆矩阵P,使得对于可对角化矩阵A,其对应的$P^{-1}AP$为对角矩阵,则称P是唯一的,除非A有重复的特矩阵A为可对角化矩阵征值特征值与特征向量相似变换对角化矩阵A的特征值和特征向对角化矩阵A的相似变换是将其量可以通过对角矩阵和P来获取转换为对角矩阵相似变换的概念与性质01020304相似变换的定义特征值不变特征向量可能改变相似变换的应用如果存在可逆矩阵P,使得相似变换不改变矩阵的特征值相似变换可能改变矩阵的特征通过相似变换可以将复杂的矩$P^{-1}AP=B$,则称矩阵A向量,除非P是特征向量矩阵阵转换为简单的对角矩阵,便和B相似于分析对角化矩阵的判定方法判断特征值的重数如果矩阵A的特征值的重数等于其对应的线性无关特征向量的个数,则A可对角化判断若当块如果矩阵A的若当块都是1x1或2x2的,则A可对角化感谢观看THANKS。