线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵

线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵•矩阵的初等变换目录•初等矩阵•矩阵的初等变换与初等矩阵的应用Contents•矩阵的初等变换与初等矩阵的性质•习题与解答01矩阵的初等变换交换矩阵的行总结词交换矩阵的行是一种初等变换，通过交换两行的位置，矩阵的秩不会改变详细描述交换矩阵的两行，即$R_i$和$R_j$（$i neqj$），相当于对矩阵进行如下操作将第$i$行和第$j$行互换，其他行保持不变这种变换称为行交换用常数乘以矩阵的一行总结词用常数乘以矩阵的一行是一种初等变换，通过乘以一个非零常数，矩阵的秩不会改变详细描述将矩阵的第$i$行乘以一个非零常数$k$，即将第$i$行的每个元素都乘以$k$，其他行保持不变这种变换称为行倍乘用常数乘以矩阵的一列总结词用常数乘以矩阵的一列是一种初等变换，通过乘以一个非零常数，矩阵的秩不会改变详细描述将矩阵的第$j$列（或第$j$个元素）乘以一个非零常数$k$，即将第$j$列（或第$j$个元素）的每个元素都乘以$k$，这种变换称为列倍乘矩阵的倍加变换总结词矩阵的倍加变换是将矩阵的某一行（或某一列）乘以一个常数后加到另一行（或另一列）上，这种变换不会改变矩阵的秩详细描述设矩阵的第$i$行（或第$i$列）为“倍加”行（或列），将该行的每个元素乘以一个非零常数$k$后加到第$j$行（或第$j$列）上，其他行（或列）保持不变这种变换称为倍加变换02初等矩阵单位矩阵定义单位矩阵是方阵，其左上角到右下角的对角线上1的元素为1，其余元素为0性质单位矩阵乘以任何矩阵都等于该矩阵本身，即2E*A=A*E=A应用在矩阵运算中，单位矩阵常常作为恒等变换使用，3表示不改变原矩阵负单位矩阵定义负单位矩阵是单位矩阵的元素取反得到的矩阵，即主对角线上的元素为-1，其余元素为0性质负单位矩阵乘以任何矩阵，相当于该矩阵的每个元素取相反数应用在矩阵运算中，负单位矩阵常用于实现矩阵的元素取反的变换转置矩阵010203定义性质应用转置矩阵是将原矩阵的行转置矩阵的行和列对应原转置矩阵常用于表示矩阵变为列得到的矩阵矩阵的列和行，即如果原的行变换操作，例如将矩矩阵是A，则其转置矩阵阵的行交换或行倍乘等记作AT矩阵的初等变换与初等矩阵03的应用解线性方程组增广矩阵将线性方程组的系数和常数项按顺序组成一个矩阵，称为增广矩阵通过初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵，即可求得线性方程组的解消元法利用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵的过程，实际上是消元的过程，通过消元可以逐步求解线性方程组求逆矩阵逆矩阵定义初等行变换法伴随矩阵法对于一个非奇异矩阵A，其逆矩阵通过初等行变换将矩阵A化为单位利用伴随矩阵的定义和性质，通A^-1满足AA^-1=E，其中E矩阵，同时记录下每一步的变换，过计算伴随矩阵的元素，得到逆为单位矩阵最后得到的逆矩阵即为所求矩阵的元素行列式计算行列式定义初等行变换法代数余子式对于一个n阶方阵A，其行列式记通过初等行变换将矩阵A化为阶梯行列式中的每一项可以表示为对为|A|，定义为所有取自不同行不形矩阵，同时记录下每一步的变应元素的代数余子式的乘积，代同列的元素乘积的代数和换，最后得到的行列式即为所求数余子式是去掉某一元素所在的行和列后得到的行列式的值乘以-1^i+j，其中i和j分别为该元素所在的行号和列号矩阵的初等变换与初等矩阵04的性质初等矩阵的逆矩阵性质如果$A$是可逆矩阵，则$A^{-1}$也是可逆的，且定义$A^{-1}^{-1}=A$如果存在一个矩阵A，使得$AB=BA=I$，则称A是B的逆矩阵，记作$A=B^{-1}$计算方法通过高斯消元法或LU分解等方法计算逆矩阵初等变换的性质010203交换两行（列）某行（列）乘以常某行（列）加到另数k一行（列）如果矩阵A经过交换两行（列）如果矩阵A经过某行（列）乘以如果矩阵A经过某行（列）加到后得到矩阵B，则$detA=-常数k后得到矩阵B，则另一行（列）后得到矩阵B，则detB$$detA=k*detB$$detA=detB$初等矩阵的性质定义单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵性质初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵还是初等矩阵应用在矩阵运算中，可以用初等矩阵将一个矩阵化为标准型或行阶梯型，以便于求解线性方程组或判断矩阵是否可逆05习题与解答习题判断题选择题如果矩阵A经过一系列初等行变换得到矩矩阵A经过一系列初等列变换得到矩阵B，阵B，则A与B等价则以下说法正确的是？VS习题A与B等价A与B相似A与B合同习题计算题给定矩阵A，求通过初等行变换将A变为单位矩阵的方法简答题简述初等行变换和初等列变换的性质和作用解答判断题正确如果矩阵A经过一系列初等行变换得到矩阵B，则A可以通过一系列初等行变换得到B，即A与B等价选择题选择项“A与B等价”是正确的因为初等列变换只涉及到矩阵的列，不改变矩阵的秩，所以A与B的秩相等，即A与B等价其他选项都不正确解答计算题可以通过以下步骤求解

11.将矩阵A的每一行都除以该行的第一个元素2（如果该元素为0，则可以省略此步骤）；

2.将得到的矩阵的每一行的第一个元素变为1；3解答简答题初等行变换和初等列变换的性质和作用包括010203性质作用初等行变换和初等列变换都不改变矩阵通过初等行变换和初等列变换可以将的秩；一个矩阵变为单位矩阵，从而得到该矩阵的逆矩阵或解线性方程组THANKS。