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文本内容:
浙大概率论与数理统计课件-第三章多维随机变量及其分布目录•多维随机变量的定义与性质•多维随机变量的分布函数•多维随机变量的独立性•多维随机变量的函数及其分布•多维随机变量的变换01多维随机变量的定义与性质定义与性质联合概率多维随机变量的联合概率描述了多多维随机变量个随机事件同时发生的可能性在概率论和数理统计中,多维随机变量是一个重要的概念,它描述了一个样本空间中同时出现的多个随机事件的数学模型边缘概率在多维随机变量中,边缘概率描述了某个随机事件发生的概率,而其他随机事件的发生与否不影响这个概率联合概率密度函数定义联合概率密度函数是多维随机变量的概率分布函数,它描述了多维随机变量取值的联合概率性质联合概率密度函数具有非负性、规范性、对称性等性质应用在统计学、机器学习等领域中,联合概率密度函数被广泛应用于模型构建和数据分析边缘概率密度函数定义边缘概率密度函数是从多维随机变量中提取某一1维度的信息,得到的单维随机变量的概率分布函数性质边缘概率密度函数具有单峰性、对称性等性质2应用在统计学、信号处理等领域中,边缘概率密度函3数被广泛应用于数据降维和特征提取02多维随机变量的分布函数联合分布函数定义应用联合分布函数是描述多维随联合分布函数是描述多维随机变量所有可能取值的概率机变量之间相关性的重要工的函数,表示多个随机变量具,可以用于计算多维随机同时取某个值或某个范围内变量的联合概率、条件概率的值的概率等性质联合分布函数具有非负性、归一化性质,即其值域在[0,1]之间,并且对于任意实数,其积分等于1边缘分布函数定义边缘分布函数是指多维随机变量中某一维随机变量的分布函数,即在其它随机变量固定的情况下,该随机变量的概率分布性质边缘分布函数具有独立性,即多维随机变量中各个随机变量是独立的,其边缘分布函数就是各个一维随机变量的分布函数应用边缘分布函数在统计推断、假设检验等领域有广泛应用,特别是在多元统计分析中,可以通过边缘分布函数来分析各个随机变量的独立性、相关性等条件分布函数定义01条件分布函数是指在某个随机变量取某个值时,其余随机变量的条件概率分布性质02条件分布函数具有依赖性,即其概率分布依赖于已经观察到的随机变量的取值应用03条件分布函数在贝叶斯推断、统计决策等领域有广泛应用,特别是在处理不完全信息、数据缺失等问题时,可以通过条件分布函数来更新先验概率、进行参数估计等03多维随机变量的独立性独立性的定义定义如果对于每一个$t$,随机变量$X_t$和$X_{t+1}$相互独立,则称$X_t$和$X_{t+1}$是独立的解释独立性意味着一个随机变量的状态不影响另一个随机变量的状态独立性的性质独立性传递01如果$X$和$Y$独立,且$Y$和$Z$独立,那么$X$和$Z$也独立独立与互斥02独立不一定互斥,互斥不一定独立独立同分布03如果两个独立的随机变量具有相同的分布函数,则它们是独立的独立性的判定判定方法三通过随机变量的相互影响程判定方法二度进行判定通过随机变量的函数形式进判定方法一行判定通过联合概率密度函数和边缘概率密度函数的关系进行判定04多维随机变量的函数及其分布一维随机变量的函数及其分布一维随机变量的线性函数及其分布一维随机变量的线性函数是指将一维随机变量进行线性变换得到的新的随机变量线性函数的分布可以通过原随机变量的概率密度函数进行计算一维随机变量的幂函数及其分布幂函数是指将一维随机变量进行幂运算得到的新的随机变量幂函数的分布可以通过原随机变量的概率密度函数进行计算二维随机变量的函数及其分布二维随机变量的线性函数及其分布二维随机变量的线性函数是指将二维随机变量进行线性变换得到的新的随机变量线性函数的分布可以通过原二维随机变量的联合概率密度函数进行计算二维随机变量的多元函数及其分布多元函数是指将多个二维随机变量进行运算得到的新的随机变量多元函数的分布可以通过原二维随机变量的联合概率密度函数进行计算n维随机变量的函数及其分布n维随机变量的线性函数及其分布n维随机变量的线性函数是指将n维随机变量进行线性变换得到的新的随机变量线性函数的分布可以通过原n维随机变量的联合概率密度函数进行计算n维随机变量的多元函数及其分布多元函数是指将多个n维随机变量进行运算得到的新的随机变量多元函数的分布可以通过原n维随机变量的联合概率密度函数进行计算05多维随机变量的变换线性变换线性变换的定义线性变换是保持向量加法和标量乘法的运算规则,即对于任意向量x和标量k,有Tk*x=k*Tx和Tx+y=Tx+Ty线性变换的性质线性变换具有一些重要的性质,如齐次性、加法性质和数乘性质这些性质使得线性变换在许多领域中都有广泛的应用线性变换的矩阵表示线性变换可以用矩阵表示,通过矩阵乘法可以方便地实现线性变换矩阵表示也使得线性变换的计算更加简便和高效仿射变换仿射变换的定义01仿射变换是保持向量加法和标量乘法的运算规则,同时保持向量共线的性质不变即对于任意向量x和标量k,有Tk*x=k*Tx和Tx+y=Tx+Ty,并且如果存在一个非零向量v使得Tv=0,那么对于任意向量u和v共线,有Tu和Tv也共线仿射变换的性质02仿射变换具有一些重要的性质,如齐次性、加法性质和数乘性质这些性质使得仿射变换在许多领域中都有广泛的应用仿射变换的矩阵表示03仿射变换可以用矩阵表示,通过矩阵乘法可以方便地实现仿射变换矩阵表示也使得仿射变换的计算更加简便和高效投影变换投影变换的定义投影变换是从一个高维空间投影到一个低维空间的映射具体来说,对于任意向量x,投影变换T将x投影到一个子空间W上,得到Tx=P*x,其中P是子空间W的正交投影矩阵投影变换的性质投影变换具有一些重要的性质,如正交性、保距性和保角性质这些性质使得投影变换在许多领域中都有广泛的应用投影变换的矩阵表示投影变换可以用矩阵表示,通过矩阵乘法可以方便地实现投影变换矩阵表示也使得投影变换的计算更加简便和高效感谢您的观看THANKS。