概率统计和随机过程课件53随机变量的数学方差

概率统计和随机过程课件53•随机变量的定义•方差的定义与性质•方差的应用•随机变量的矩目录•随机变量的分布函数contentsCHAPTER01随机变量的定义随机变量的概念随机变量在概率论和统计学中，随机变量是一个定义在样1本空间上的可测函数，其每一个取值都伴随着一个确定的概率离散随机变量离散随机变量是在样本空间中取有限或可数无穷2多个值的随机变量，例如掷骰子的点数连续随机变量连续随机变量是在样本空间中可以取任何值的随3机变量，其取值范围是一个区间或不可数集合，例如人的身高随机变量的分类离散型随机变量连续型随机变量随机变量的数学期望取值可以列举出来，如投掷一枚取值范围为一个区间或不可数集数学期望是随机变量取值的平均骰子出现的点数合，如人的身高值，其计算公式为$EX=sumx_i px_i$，其中$x_i$是随机变量的可能取值，$px_i$是相应的概率随机变量的数学期望数学期望与方差数学期望和方差是描述随机变量分布特性的重要参数学期望的性质数，方差用于衡量随机变量取值分散程度数学期望具有线性性质，即对于两个随机变量$X$和$Y$，有$EX+Y=EX+EY$数学期望的应用数学期望在概率论和统计学中有广泛的应用，如概率推断、参数估计、假设检验等CHAPTER02方差的定义与性质方差的定义方差是用来度量随机变量取值分散程度的量，记作DX，简记为σ²方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，取值越集中方差的性质非负性DX≥0，当且仅当所有可能取值相等时，DX=0确定性不等式DaX+b=a²DX，其中a和b为常数DX+Y≤DX+DY，其中X和Y为随机变量方差的计算公式对于离散型随机变量X，对于连续型随机变量X，方差计算公式为方差计算公式为DX=∑px×x-μ²，其中μ为随机变量的DX=∫-∞→+∞x-μ²fxdx，其中fx为均值，px为随机变量取各个可能值的概率随机变量的概率密度函数，μ为随机变量的均值CHAPTER03方差的应用方差在决策理论中的应用风险评估方差用于衡量投资或决策的风险，通过计算预期收益与实际收益的偏离程度，帮助决策者评估不确定性贝叶斯决策贝叶斯决策理论利用方差来更新先验概率，通过考虑不同可能性的不确定性来做出最优决策风险偏好方差可以用于确定决策者的风险偏好，例如，风险厌恶者会选择方差较小的方案，而风险追求者则可能选择方差较大的方案方差在金融风险管理中的应用投资组合优化01在投资组合理论中，方差用于衡量投资组合的风险，帮助投资者确定最优资产配置资本充足率02银行和其他金融机构使用方差来计算资本充足率，以确保其能够承受潜在的市场风险衍生品定价03衍生品定价模型，如布莱克-舒尔斯模型，使用方差来估计衍生品的合理价格方差在统计学中的应用参数估计方差用于估计未知参数的精度，例如，通过样本方差来估计总体方差假设检验在假设检验中，方差用于比较两组或多组数据的差异，以确定它们是否具有统计显著性回归分析在回归分析中，方差用于解释因变量的变异，并评估自变量对因变量的影响程度CHAPTER04随机变量的矩矩的定义数学期望偏度表示随机变量取值的平均水平，描述随机变量分布的不对称性，计算公式为$EX=sum计算公式为$SX=frac{sumxpx$x-mu^3px}{DX^{3/2}}$矩方差峰度描述随机变量分布特性的数字表示随机变量取值分散程度，描述随机变量分布的尖锐程度，特征，包括数学期望、方差、计算公式为$DX=sum x-计算公式为$KX=frac{sum偏度、峰度等mu^2px$x-mu^4px}{DX^2}$矩的性质矩的线性性质对于两个随机变量$X$和$Y$，有$EaX+bY=aEX+bEY$，$DaX+bY=a^2DX+b^2DY$矩的次序性质对于两个随机变量$X$和$Y$，若$X leqY$，则有$EX leqEY$，$DX leqDY$矩的运算性质对于随机变量$X$和常数$a$，有$EaX=aEX$，$DaX=a^2DX$矩的计算公式•对于离散型随机变量$X$，其数学期望、方差、偏度、峰度的计算公式分别为矩的计算公式$EX=sum xpx$01$DX=sum x-mu^2px$02$SX=frac{sum x-mu^3px}{DX^{3/2}}$03矩的计算公式$KX=frac{sum x-mu^4px}{DX^2}$对于连续型随机变量$X$，其数学期望、方差、偏度、峰度的计算公式分别为矩的计算公式010204$SX=frac{int x-$EX=intmu^3fxdx}xfxdx${sqrt{DX^3}}$KX=$$DX=int frac{int x-x-mu^4fxdx}mu^2fxdx${DX^2}$03CHAPTER05随机变量的分布函数分布函数的定义分布函数是描述随机变量取值概率的函数，它给出了随机变量取任意实数值的概率对于离散型随机变量，分布函数是其概率质量函数的积分；对于连续型随机变量，分布函数是其概率密度函数的积分分布函数的性质分布函数是单调非减的，即随着自变量的增加，函数值也增加对于任何实数x，分布函数的值小于或等于1，即Fx≤1分布函数具有右连续性，即对于任意实数x，有Fx=limx→x+0Ft分布函数的计算公式对于离散型随机变量，分布函数Fx=∑PX=xi，其中PX=xi是随机变量取值为xi的概率对于连续型随机变量，分布函数Fx=∫−∞x​ftdt，其中ft是随机变量的概率密度函数THANKSFORWATCHING感谢您的观看。