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概率统计和随机过程课件41•随机变量函数的分布目•随机变量的分布函数录•随机变量的概率密度函数•随机变量的期望和方差CONTENTS01随机变量函数的分布CHAPTER随机变量函数的定义随机变量函数01一个随机变量是一个定义在样本空间上的函数,通常表示为Xω,其中ω是样本点随机变量函数的定义02随机变量函数是指将一个或多个随机变量作为输入,经过某种运算后得到另一个随机变量的函数随机变量函数的性质03随机变量函数具有一些重要的性质,如线性性质、概率性质和期望性质等随机变量函数的性质概率性质随机变量函数具有概率性质,即对于任意随机变量线性性质X和非负常数k,有kX的期望等于kEX随机变量函数具有线性性质,即对于任意常数a和b,以及随机变量X和Y,有期望性质aX+bY的期望等于aEX+bEY随机变量函数的期望是该函数在样本空间上的平均值,即对于任意随机变量X,EX=E[X]随机变量函数的分类一元随机变量函数只涉及一个随机变量的函数连续型随机变量函数二元随机变量函数连续型随机变量的函数,如正态分布、泊涉及两个随机变量的函数松分布等离散型随机变量函数高维随机变量函数离散型随机变量的函数,如伯努利试验、涉及多个随机变量的函数二项分布等02随机变量的分布函数CHAPTER分布函数的定义010203分布函数是描述随机变量取值对于任意实数x,分布函数Fx分布函数具有非负性、单调递概率的函数,其定义域为全体表示随机变量X小于或等于x的增性和右连续性实数,值域为[0,1]概率分布函数的性质01分布函数的值域为[0,1],即0≤Fx≤102对于任意实数x1x2,有Fx1≤Fx2,即分布函数是单调递增的03分布函数具有右连续性,即对于任意实数x,limx→x+Fx=Fx分布函数的计算01对于离散型随机变量,分布函数是其概率质量函数的积分02对于连续型随机变量,分布函数是其概率密度函数的积分03对于均匀分布、正态分布、指数分布等常见分布,其分布函数有已知的公式或形式03随机变量的概率密度函数CHAPTER概率密度函数的定义010203概率密度函数离散型随机变量连续型随机变量描述随机变量取值概率分布的函当随机变量只取有限个或可数个当随机变量可以取某个区间内任数,其值表示在某点附近取值的值时,其概率分布由概率质量函意值时,其概率分布由概率密度概率数描述函数描述概率密度函数的性质归一化概率密度函数在积分意义下总和为1,即∫fxdx=1非负性概率密度函数值非负,有界性即对于所有实数x,有fx=0概率密度函数在定义域内有界,即存在正数M,使得对于所有x属于定义域,有|fx|=M概率密度函数的计算离散型随机变量连续型随机变量对于离散型随机变量,概率密度函数可以通过对于连续型随机变量,概率密度函数可以通过求和或积分计算微积分计算常见分布的概率密度函数例如正态分布、泊松分布、指数分布等都有已知的概率密度函数形式,可以直接使用04随机变量的期望和方差CHAPTER期望的定义和性质定义期望是随机变量取值的概率加权和,常用符号E表示对于离散随机变量,期望定义为$EX=sum x_i px_i$;对于连续随机变量,期望定义为$EX=int xfx dx$性质期望具有线性性质,即$EaX+b=aEX+b$;期望具有可交换性,即$EX+Y=EX+EY$;期望具有可结合性,即$EX+Y+Z=EX+Y+Z$方差的定义和性质定义方差是随机变量取值与其期望的差的平方的期望,常用符号D表示对于离散随机变量,方差定义为$DX=sum x_i-EX^2px_i$;对于连续随机变量,方差定义为$DX=int x-EX^2fxdx$性质方差具有非负性,即$DX geq0$;方差具有齐次性,即$DaX=a^2DX$;方差具有可交换性,即$DX+Y=DX+DY$期望和方差的计算离散随机变量的期望和方差计算对于离散随机变量,可以通过直接计算每个取值的概率加权和来计算期望,通过计算每个取值与期望的差的平方的概率加权和来计算方差连续随机变量的期望和方差计算对于连续随机变量,可以通过积分计算每个取值的概率加权和来计算期望,通过计算每个取值与期望的差的平方的概率加权和来计算方差期望和方差的性质在计算中的应用在计算复杂随机变量的期望和方差时,可以利用期望和方差的性质进行简化计算例如,利用线性性质可以将多个随机变量的和的期望和方差分别简化为单个随机变量的期望和方差的线性组合THANKS感谢您的观看。