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扬州大学高等代数课件北大三版-第九章欧几里得空间•欧几里得空间的定义与性质•欧几里得空间的线性变换目录•欧几里得空间的子空间•欧几里得空间的同构•欧几里得空间的正交变换01欧几里得空间的定义与性质欧几里得空间的定义欧几里得空间是指满足向量加法、标量乘法和数量积封闭的向量空间它由实数域上的有限维向量空间构成,具有加法、标量乘法和数量积等运算性质欧几里得空间的性质欧几里得空间是完备的,即其上任意柯西序列都收敛它具有正定性,即对于任意的向量x,都有x⋅x≥0,且只有在x=0时等号成立欧几里得空间的例子二维平面上的点集构成一个二维欧几三维空间中的点集构成一个三维欧几里得空间,其中向量是平面向量,标里得空间,其中向量是三维向量,标量是实数量是实数VS02欧几里得空间的线性变换线性变换的定义与性质线性变换如果对于欧几里得空间中的向量$mathbf{x}$,存在一个向量$mathbf{y}$,使得$mathbf{y}=Tmathbf{x}$,其中$T$是一个线性变换线性变换的性质线性变换具有加法性质和数乘性质,即对于任意的向量$mathbf{x}$和常数$k$,有$Tkmathbf{x}=kTmathbf{x}$线性变换的矩阵表示矩阵表示对于线性变换$T$,存在一个矩阵$A$,使得对于任意的向量$mathbf{x}$,有$Tmathbf{x}=Amathbf{x}$矩阵的运算性质线性变换的矩阵表示具有加法性质和数乘性质,即对于任意的矩阵$A$和常数$k$,有$kAmathbf{x}=kAmathbf{x}$特征值与特征向量特征值如果存在一个常数$lambda$,使得对于任意的向量$mathbf{x}$,有$Tmathbf{x}=lambdamathbf{x}$,则称$lambda$为线性变换$T$的特征值特征向量如果存在一个非零向量$mathbf{x}$,使得$Tmathbf{x}=lambdamathbf{x}$,则称$mathbf{x}$为线性变换$T$的特征向量对角化与相似变换对角化如果存在一个可逆矩阵$P$,使得$P^{-1}AP=Lambda$,其中$Lambda$是对角矩阵,则称线性变换$T$可对角化相似变换如果存在一个可逆矩阵$P$,使得$P^{-1}TP=T$,其中$T$是另一个线性变换,则称线性变换$T$与$T$相似03欧几里得空间的子空间子空间的定义与性质子空间的定义子空间的性质如果一个线性空间U的一个非空子集V对于子空间具有封闭性,即子空间中的元素经过U的加法和标量乘法也构成一个线性空间,加法和标量乘法后仍然在子空间中此外,则称V是U的子空间子空间还具有独立性,即子空间中的元素不能被其他元素所唯一确定子空间的判定条件要点一要点二判定条件一判定条件二如果一个集合V包含0元素并且对于加法和标量乘法封闭,如果一个集合V在加法和标量乘法下构成一个群,则V是一则V是一个子空间个子空间子空间的基与维数子空间的基子空间的维数一个线性子空间的基是一组线性无关的元素,子空间的维数等于其基所含元素的个数对该子空间中的任意元素都可以由这组基线性于有限维线性空间,维数等于其基的元素个表示数04欧几里得空间的同构同构的定义与性质同构的定义同构的性质两个欧几里得空间V和W之间的一个一一映射f,如果对同构映射保持向量的长度不变,即对于任意的x属于V,于任意的x,y属于V,都有fx+y=fx+fy和有|fx|=||x||fx*y=fx*fy,那么就称f为V到W的线性同构同构的判定条件判定条件一判定条件二如果存在可逆线性变换T,使得对于任意的x属于V,都如果存在可逆矩阵P,使得对于任意的x属于V,都有有Tx=fx,那么就称f为V到W的线性同构P*x=fx,那么就称f为V到W的线性同构同构的应用举例应用一应用二在有限维空间中,任何两个标准正交基都可以通过一在解析几何中,平面直角坐标系和极坐标系可以通过个可逆线性变换相互转换,因此它们是线性同构的适当的坐标变换相互转换,因此它们是线性同构的05欧几里得空间的正交变换正交变换的定义与性质定义正交变换是一种线性变换,它保持向量之间的正交关系不变性质正交变换的逆变换也是正交变换;正交变换的行列式为1或-1,取决于是否保持定向不变;正交变换将一个向量映射到与原向量长度相等或长度为原向量长度平方根的向量正交矩阵的判定条件01行列式值为1或-1;02任意两行(或列)正交,即点积为0;03特征值全为实数,且特征值的和等于行列式的值正交变换的应用举例旋转和反射信号处理正交变换可以用来描述旋转和反射等正交变换可以用于信号的压缩和编码,几何变换,这在图形处理和计算机视例如离散余弦变换(DCT)在图像和觉等领域有广泛应用音频压缩中的应用数据降维通过正交变换,可以将高维数据投影到低维空间,实现数据的降维处理,这在机器学习和数据挖掘等领域有重要应用感谢观看THANKS。