扬州大学高等代数课件北大三版-第七章线性变换

第七章线性变换•线性变换•线性变换的定义与性质•线性变换的矩阵表示•线性变换的核与值域•线性变换的几何意义01线性变换线性变换的定义线性变换是向量空间中的一种映射，它将一个向量映射到另一个向量，同时保持向量的加法和标量乘法的线性性质线性变换可以用矩阵表示，其矩阵是变换前后向量之间的关系矩阵线性变换的性质010203线性变换是可逆的，即存在逆线性变换不改变向量的长度和线性变换的矩阵表示具有一些变换，可以将映射后的向量还夹角，只改变向量的方向和大重要的性质，如矩阵的行列式原为原始向量小等于1或-1，矩阵的迹等于特征值的和等线性变换的应用01在几何学中，线性变换可以用来描述物体的运动和变化，如平移、旋转和缩放等02在物理学中，线性变换可以用来描述波动、振动和电磁场等物理现象03在工程学中，线性变换可以用来优化设计、控制和信号处理等问题02线性变换的定义与性质线性变换的定义线性变换的定义线性变换是向量空间中的一种映射，它将一个向量映射到另一个向量，同时保持向量的加法和标量乘法的运算性质线性变换可以用矩阵表示，其矩阵是线性变换下的一组基向量的坐标变换矩阵线性变换的数学表达式线性变换的一般形式为$Tx=Ax$，其中$A$是一个矩阵，$x$是一个向量线性变换的性质线性变换的加法性质线性变换的加法性质是指，如果$T_1$和$T_2$是两个线性变换，那么$T_1+T_2$也是一个线性变换线性变换的数乘性质线性变换的数乘性质是指，如果$lambda$是一个标量，那么$lambda T$也是一个线性变换线性变换的零元性质线性变换的零元性质是指，零映射$Tx=0$是一个线性变换线性变换的运算线性变换的加法运算两个线性变换的加法是指将两个向量分别代入两个线性变换中，再将结果相加线性变换的数乘运算标量与线性变换的数乘是指将标量乘以线性变换的矩阵，得到一个新的线性变换线性变换的转置运算线性变换的转置是指将原向量空间的基向量映射到新向量空间的基向量上，得到一个新的矩阵03线性变换的矩阵表示矩阵表示的定义线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示方法将线性变换与矩阵一一对应，通过矩阵的乘法将线性变换的系数矩阵表示为矩阵形式，其中运算实现线性变换的过程行表示输入向量，列表示输出向量线性变换的矩阵表示的意义通过矩阵表示，可以更方便地研究线性变换的性质和运算规律矩阵表示的性质线性变换的矩阵表示具有可加性和数乘性线性变换的矩阵表示满足可加性和数乘性，即对于两个线性变换的和或数乘，其矩阵表示可以通过相应的矩阵加法或数乘运算得到线性变换的矩阵表示具有一致性对于同一个线性变换，其不同的矩阵表示是等价的，即可以通过有限次初等行变换或列变换相互转化线性变换的矩阵表示具有唯一性对于任意一个线性变换，其矩阵表示是唯一的，即一旦确定了输入向量和输出向量的顺序，该线性变换的矩阵表示就是唯一的矩阵表示的运算线性变换的矩阵表示的加法运算01对于两个线性变换的矩阵表示，其加法运算对应于矩阵的加法运算线性变换的矩阵表示的数乘运算02对于一个线性变换的数乘运算，其矩阵表示对应于数乘运算线性变换的矩阵表示的乘法运算03对于两个线性变换的乘积，其矩阵表示对应于矩阵的乘法运算04线性变换的核与值域核的定义与性质核的定义设线性变换为T，对于某非空集合V中的元素x，若x经过T变换后得到的结果为0，则称x为T的核核的性质核是线性变换下的一个重要概念，它反映了变换后结果为0的元素集合的特征核中的元素满足线性组合性质，即对于任意标量k和v，若k*v属于核，则k*v也是核的元素值域的定义与性质值域的定义设线性变换为T，对于某非空集合V中的元素x，经过T变换后得到的非零结果构成的集合称为T的值域值域的性质值域反映了线性变换后可能得到的所有结果的集合特征值域中的元素满足线性组合性质，即对于任意标量k和值域中的元素v，若k*v属于值域，则k*v也是值域的元素核与值域的关系核与值域互为补集对于任意线性变换T，其核与值域的并集等于全集V，即核和值域是全集V的两个互补子集核与值域的包含关系对于某些特定的线性变换，其值域可能包含核，也可能被核包含，或者与核互不相交这种包含关系取决于线性变换的具体定义和性质05线性变换的几何意义线性变换在几何上的解释线性变换可以视为将一个向量空间映射到另一个向量空间的线性映射它保持向量的加法和标量乘法的几何性质，即线性变换满足结合律、分配律和单位元存在性线性变换可以通过矩阵表示，矩阵的行是原坐标系下的向量，列是新坐标系下的向量线性变换在解空间方程中的应用01在解决空间方程时，线性变换可以用来将方程简化为更易于处理的形式02通过线性变换，可以将复杂的非线性方程转化为线性方程，从而更容易求解03在解决物理问题时，线性变换也常被用来将物理量从一种坐标系转换到另一种坐标系线性变换在矩阵几何中的应用矩阵是线性变换的数学表示，在矩阵几何中，线性变换被用通过线性变换，可以在几何图通过矩阵可以描述和操作线性来研究矩阵的性质和关系，以形上实现平移、旋转、缩放等变换及它们在几何图形上的应用操作，从而改变图形的形状和大小THANK YOU。