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复变函数课件6-习题•复数与复变函数•复变函数的极限与连续性•导数与微分•积分与全纯函数•幂级数与泰勒级数•复变函数的积分公式与全纯函数的空间01复数与复变函数复数的概念复数由实部和虚部构成的数,表示为$z=a+bi$,其中$a$是实部,$b$是虚部,$i$是虚数单位,满足$i^2=-1$复数的几何意义复平面,实轴和虚轴构成的二维平面,每一个复数在复平面上对应一个点复数的几何意义010203复数的模共轭复数复数的四则运算表示复数的大小,定义为实部相同,虚部相反的复加法、减法、乘法和除法$sqrt{a^2+b^2}$数,表示为$z^*=a-bi$复变函数的概念01020304定义域函数值单值函数多值函数函数自变量的取值范围函数因变量的取值在定义域内对应唯一一个函数在定义域内对应多个函数值的值的函数函数02复变函数的极限与连续性复变函数的极限极限的定义极限的性质无穷远点的极限复变函数的极限是指当自与实数函数的极限性质类当自变量趋于无穷远时,变量趋于某一点时,函数似,包括极限的唯一性、复变函数也可能有极限值的趋近方式四则运算性质、夹逼定理等复变函数的连续性连续性的定义如果复变函数在某一点处的极限值等于该点的函数值,则函数在该点连续连续性的性质包括零点定理、介值定理等连续函数的图像性质连续函数的图像是处处连续的曲线复变函数的可微性可微性的定义可微函数的图像性质如果复变函数在某一点处的导数存在,可微函数的图像是处处光滑的曲线则函数在该点可微可微的性质包括导数的线性性质、导数的几何意义等03导数与微分导数的定义与性质导数的定义导数是函数在某一点的变化率的量度,表示函数在该点附近的小范围内变化的情况导数的性质导数具有一些重要的性质,如线性性质、乘积法则、商的导数法则、链式法则等,这些性质在研究函数的单调性、极值等问题时具有重要的作用导数的几何意义切线斜率导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率如果函数在某一点的导数大于零,则函数在该点附近单调递增;如果导数小于零,则函数在该点附近单调递减单调性导数的符号决定了函数的单调性如果函数在某区间内可导,且导数大于零,则函数在该区间内单调递增;如果导数小于零,则函数在该区间内单调递减高阶导数高阶导数的定义高阶导数是函数的一阶导数的导数,表示函数在某一点附近更精细的变化情况高阶导数的应用高阶导数在研究函数的极值、拐点、泰勒展开等问题时具有重要的作用同时,高阶导数还可以用于求解一些复杂的微分方程04积分与全纯函数积分的定义与性质定义复变函数的积分定义为对复平面上的曲线进行分割,并求各小段上的线段函数值的乘积加上被积函数的常数部分性质复变函数的积分具有线性性质、可加性、积分区间可加性等基本性质柯西积分公式内容柯西积分公式是复变函数中的一个重要公式,它表示一个全纯函数的积分与其内部点处的值之间的关系应用柯西积分公式在解决全纯函数的值和性质的问题中具有广泛的应用,如求解全纯函数的值、证明全纯函数的性质等全纯函数的概念定义全纯函数是指在其定义域内处处解析的复变函数性质全纯函数具有一些重要的性质,如具有导数、可微分、可微分的极限存在等全纯函数在复分析中具有广泛的应用,如求解全纯函数的值、证明全纯函数的性质等05幂级数与泰勒级数幂级数的概念与性质收敛性幂级数在复平面上的收敛域是一个幂级数的定义或多个开圆盘幂级数是一种无穷级数,其中每一项都是一个非零常数与一个幂的乘积性质幂级数在复平面上的收敛点集是它的定义域,且在收敛域内是连续的泰勒级数的概念与性质泰勒级数的定义展开式性质泰勒级数是幂级数的一种特殊形泰勒级数的每一项都可以表示为泰勒级数在全域内是连续的,且式,它在复平面上的收敛域是全一个函数的幂的无穷和可以用来逼近任何复平面上的连域续函数洛朗兹级数洛朗兹级数的定义洛朗兹级数是泰勒级数的一种扩展,它允许在复平面上有多个奇点奇点洛朗兹级数的奇点是使得级数发散的点,这些点通常位于复平面的边界上应用洛朗兹级数可以用来逼近复平面上的连续函数,特别是那些在某些点上具有奇性的函数06复变函数的积分公式与全纯函数的空间柯西积分公式与解析函数的性质柯西积分公式如果函数fz在简单闭曲线C的内部是解析的,那么对于C内的任意一点z,函数fz沿C的线积分等于fz0的值乘以2πi,其中z0是C上的任意一点解析函数的性质如果函数fz在某个区域D内是解析的,那么fz在D内是连续可微的,且其导数不为零全纯函数的积分公式与全纯空间的概念全纯函数的积分公式如果函数fz在区域D内是全纯的,那么对于D内的任意一条简单闭曲线C,有∫zfz/fzdz=2πi*C_n,其中C_n表示C的法向量全纯空间的概念全纯空间是指由全纯函数构成的线性空间,具有一些特殊的性质,如全纯函数的线性组合、数乘和复合运算都是全纯的解析函数的边界性质解析函数的边界性质解析函数的零点性质如果函数fz在区域D的边界上取值为0,那如果函数fz在区域D内是解析的,且在D的么fz在D内是解析的一个邻域内的值恒为0,那么fz在D内恒为0THANKS感谢观看。