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复变函数课件1-2复数的几何表示•复数的基本概念•复数的几何表示•复数的运算•复数在几何中的应用目录•复数的幂级数展开contents01复数的基本概念复数的定义复数是由实部和虚部组成的数,表示虚数可以看作是实部为0的复数,即0为a+bi,其中a和b是实数,i是+bi=bi虚数单位,满足i^2=-1实数可以看作是虚部为0的复数,即a+0i=a复数的几何表示复数a+bi可以表示为平面上的点a,b,其中横坐标为实部,纵坐标为虚部复数a-bi可以表示为平面上的点a,-b,其中横坐标为实部,纵坐标为负虚部当b=0时,复数a+bi变为实数a,表示平面上的一个点;当a=0时,复数bi表示平面上的y轴正方向上的一个单位长度复数的模复数的模定义为该点到原点的距当a=0时,复数的模即为虚部模具有以下性质|z1z2|=离,计算公式为|z|=sqrta^2的绝对值|b|;当b=0时,复|z1|·|z2|,|z/w|=|z|/|w|+b^2,其中z=a+bi数的模即为实部的绝对值|a|(w≠0),|z^n|=|z|^n(n为正整数)02复数的几何表示复平面010203定义坐标系模复平面是实数轴和虚数轴在复平面上,每个复数复数的模定义为构成的二维平面,其中实z=a+bi对应一个点a,b,√a^2+b^2,表示点数轴表示实数,虚数轴表其中a是实部,b是虚部a,b到原点的距离示纯虚数复数的向量表示定义向量运算向量模复数z=a+bi可以表示为向向量的加法、减法和数乘复数的模也可以表示为向量,其中实部a表示向量的等运算可以用于复数的运量的模,即√a^2+b^2起点,虚部b表示向量的长算度和方向复数的极坐标表示转换关系极坐标与直角坐标之间可以通过定义r=√x^2+y^2和tanθ=y/x进行转换复数z=rcosθ+i sinθ可以用极坐标形式表示,其中r表示模长,θ表示辐角运算性质极坐标形式的复数运算具有简洁性和直观性,例如z1z2=r1r2cosθ1+θ2+isinθ1+θ203复数的运算加法与减法总结词复数的加法与减法可以通过平行四边形法则进行,其实部与虚部分别进行加法和减法运算详细描述复数的加法与减法是将两个复数表示的点在复平面上进行平移,其实部和虚部分别进行加法和减法运算具体来说,设两个复数$z_1=a+bi$和$z_2=c+di$,则它们的和$z_1+z_2=a+c+b+di$,差$z_1-z_2=a-c+b-di$乘法与除法总结词复数的乘法与除法可以通过旋转和缩放进行,其实部与虚部分别进行乘法和除法运算详细描述复数的乘法与除法是将两个复数表示的点在复平面上进行旋转和缩放,其实部和虚部分别进行乘法和除法运算具体来说,设两个复数$z_1=a+bi$和$z_2=c+di$,则它们的乘积$z_1times z_2=ac-bd+ad+bci$,商$frac{z_1}{z_2}=frac{a+bi}{c+di}=frac{a+bic-di}{c^2+d^2}=frac{ac+bd+bc-adi}{c^2+d^2}$共轭复数与实部虚部总结词共轭复数是改变一个复数的虚部的符号得到的,其实部和虚部的计算方法分别是将复数拆分为实部和虚部详细描述共轭复数是改变一个复数的虚部的符号得到的,记作$overline{z}$如果一个复数$z=a+bi$,则它的共轭复数$overline{z}=a-bi$实部是指复数中不包含虚部的部分,即$a$;虚部是指复数中包含在$i$旁边的部分,即$b$实部和虚部可以通过将复数拆分得到04复数在几何中的应用解析几何中的复数复平面复数的几何意义复数的模复数可以用实轴和虚轴构成的二复数可以视为平面上的点或向量,复数的模表示该点或向量到原点维平面来表示,实轴对应实部,其实部和虚部分别对应于平面直的距离,计算公式为虚轴对应虚部角坐标系中的x和y坐标$sqrt{x^2+y^2}$复数在物理学中的应用交流电交流电的电压和电流可以用复数表示,其实部表示幅度,虚部表示相位振动和波动在振动和波动的研究中,复数可以用来描述振幅、频率和相位等参数信号处理在信号处理中,复数可以用来进行频谱分析和滤波器设计等操作复数在工程中的应用控制工程在控制工程中,复数可以用来描述系统的传递函数和稳定性等特性电路分析在电路分析中,复数可以用来计算电压、电流和阻抗等参数数字信号处理在数字信号处理中,复数可以用来进行离散傅里叶变换和滤波器设计等操作05复数的幂级数展开幂级数展开的定义幂级数展开是将复数表示为无穷级数的方式,即$z=rcostheta+isintheta$,其中$r$是模长,$theta$是辐角这种表示方法将复数分解为实部和虚部,方便进行运算和分析幂级数展开的几何意义01幂级数展开的几何意义是将复平面上的点表示为极坐标系中的点,其中实轴表示实部,虚轴表示虚部02通过极坐标系,可以直观地理解复数的几何意义,例如模长、辐角、旋转等概念幂级数展开的应用幂级数展开在复变函数中有着广泛的应用,例如在求解微分方程、积分方程、全纯函数和亚纯函数等领域都有重要的应用通过幂级数展开,可以方便地求解一些复杂的数学问题,简化计算过程,提高解题效率THANK YOU感谢观看。