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复变函数课件6-2分式线性映射•分式线性映射的定义和性质contents•分式线性映射的导数和积分•分式线性映射的应用目录•分式线性映射的扩展和推广•分式线性映射的习题和解答01分式线性映射的定义和性质分式线性映射的定义定义分式线性映射是复平面上的一个变换,由一个复数域上的非零复数和复平面上的一个点通过特定的运算规则构成运算规则分式线性映射由形如$fz=frac{az+b}{cz+d}$的函数表示,其中$a,b,c,d$是复数,并且$ad-bc neq0$分式线性映射的性质线性性质分式线性映射满足线性性质,即对于任意两个复数$z_1,z_2$和任意实数$k$,有$fk z_1+z_2=k fz_1+fz_2$连续性和可微性分式线性映射在复平面上通常是连续的,并且在除去有限个点之外是可微的保角性分式线性映射保持角度不变,即如果$z_1$和$z_2$之间的角度为$theta$,那么$fz_1$和$fz_2$之间的角度也为$theta$分式线性映射的例子平移将复平面上的点$z$向左或向右平移一个单位,对应的分式线性映射为$fz=z+1$或$fz=z-1$旋转将复平面上的点逆时针旋转$theta$角度,对应的分式线性映射为$fz=e^{i theta}z$02分式线性映射的导数和积分分式线性映射的导数定义分式线性映射的导数是指在复平面上的每一点处,该映射对复平面上任意一点的变化率计算方法分式线性映射的导数可以通过求极限的方法计算,具体计算过程涉及到复平面上的点、向量、极限等概念应用分式线性映射的导数在研究函数的性质、曲线和曲面的几何形状等方面有重要应用分式线性映射的积分定义应用分式线性映射的积分是指在复平面上分式线性映射的积分在研究函数的性的一条曲线上的积分,表示该映射在质、曲线和曲面的几何形状等方面有曲线上的累积效果重要应用计算方法分式线性映射的积分可以通过定积分的方法计算,具体计算过程涉及到复平面上的曲线、定积分等概念分式线性映射的导数和积分的例子例子1考虑函数$fz=frac{z^2}{z-1}$,求其在点$z=1$处的导数例子2考虑函数$fz=frac{1}{z}$,求其在曲线$|z|=1$上的积分03分式线性映射的应用分式线性映射在几何学中的应用分式线性映射可以用于研究几何图形之间的变换关系,例如平面上的相似变换、仿射变换等分式线性映射可以帮助理解几何学中的一些基本概念,如距离、角度、面积等在变换下的表现形式分式线性映射在物理学中的应用在量子力学中,波函数通常通过分式线性变换进行描述,分式线性映射可以用于理解波函数的性质和行为在光学中,分式线性映射可以用于描述光在不同介质之间的传播和变换,例如折射和反射等现象分式线性映射在工程学中的应用在电路分析中,分式线性映射可以用于描述电路中电压和电流的分布和变化,帮助工程师理解和设计电路在图像处理中,分式线性映射可以用于图像的缩放、旋转和平移等操作,实现图像的变换和编辑04分式线性映射的扩展和推广分式线性映射的扩展定义域的扩展01将分式线性映射的定义域从有限区域扩展到无限区域,使其能够处理更广泛的函数值的扩展02将分式线性映射的值域从实数域扩展到复数域,从而能够处理复数函数的变换参数的扩展03引入更多的参数,以实现更复杂的分式线性映射,并提高映射的灵活性和适用性分式线性映射的推广推广到高维空间将分式线性映射从二维平面推广到更高维的空间,以处理更复杂的几何变换和函数变换推广到非线性映射将分式线性映射的非线性特性进一步发挥,以实现更复杂的非线性变换推广到离散化形式将分式线性映射离散化,以处理离散数据和数字信号的变换分式线性映射扩展和推广的例子分式线性映射在图像处理中的应用通过扩展和推广分式线性映射,可以实现图像的缩放、旋转和平移等几何变换,以及图像增强和去噪等处理分式线性映射在信号处理中的应用在信号处理中,分式线性映射可以用于实现信号的滤波、频域变换和调制解调等处理,以提高信号的质量和传输效率05分式线性映射的习题和解答分式线性映射的习题010203题目1题目2题目3设$fz=frac{z^2-1}{zz-设$fz=frac{1}{z^2-4z+设$fz=frac{1}{z^2-2z+1}$,求$fz$在$z=1$和$z=3}$,求$fz$在$z=2+i$和2}$,求$fz$在$z=1+i$和0$的留数$z=2-i$的留数$z=1-i$的留数分式线性映射的解答解答101对于题目1,首先化简$fz=frac{z^2-1}{zz-1}=frac{z+1z-1}{zz-1}=frac{z+1}{z}$,然后根据留数的定义,得到在$z=1$和$z=0$的留数分别为0和-1解答202对于题目2,首先化简$fz=frac{1}{z^2-4z+3}=frac{1}{z-1z-3}=frac{1}{2}leftfrac{1}{z-1}-frac{1}{z-3}right$,然后根据留数的定义,得到在$z=2+i$和$z=2-i$的留数分别为$frac{i}{4}$和$-frac{i}{4}$解答303对于题目3,首先化简$fz=frac{1}{z^2-2z+2}=frac{1}{z-1^2+1}=frac{1}{2}leftfrac{1}{z-1}-frac{1}{z-1+i}right$,然后根据留数的定义,得到在$z=1+i$和$z=1-i$的留数分别为$frac{i}{4}$和$-frac{i}{4}$分式线性映射习题和解答的例子例题分析设$fz=frac{sin z}{z^3}$,求$fz$在首先化简$fz=frac{sin z}{z^3}=原点处的留数frac{1}{z^2}times frac{sin z}{z}$,然后VS根据留数的定义,得到在原点处的留数为$lim_{z to0}frac{sin z}{z}=1$THANKS感谢观看。