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文本内容:
大学高数函数•函数的概念与性质contents•函数的极限•导数与微分目录•积分学•微分方程•多元函数微积分01函数的概念与性质函数的定义函数是数学上的一个概念,它是一种特殊的对应关系,将定义域内的每一个元素与值域内的唯一元素对应起来函数的定义可以表示为对于每一个$x$(属于定义域),存在唯一的$y$(属于值域),使得$y=fx$函数的性质有界性单调性函数在其定义域内有上界和下界函数在其定义域内的自变量增加时,函数值也随着增加周期性奇偶性函数在其定义域内具有周期性,即存在一个非零常数$T$,函数在其定义域内具有奇偶性,即对于定义域内的每一个使得对于定义域内的每一个$x$,都有$fx+T=fx$$x$,都有$f-x=fx$(偶函数)或$f-x=-fx$(奇函数)函数的分类连续函数与不连续函数一元函数与多元函数有界函数与无界函数根据函数在定义域内的连续性根据函数的自变量个数进行分根据函数的值域是否有限进行010203进行分类类分类单调函数与非单调函数周期函数与非周期函数奇函数与偶函数根据函数的单调性进行分类根据函数的周期性进行分类根据函数的奇偶性进行分类04050602函数的极限极限的定义极限的描述性定义当自变量趋近某一值时,函数值无限接近于某一常数,称该常数为函数的极限极限的精确定义对于任意小的正数$varepsilon$,存在相应的正数$delta$,当$0|x-x_0|delta$时,有$|fx-L|varepsilon$,其中$L$为常数极限的性质唯一性有界性若函数在某点的极限存在,则该极限值是若函数在某点的极限存在,则该点的函数唯一的值是有界的局部四则运算性质局部保号性若两个函数的极限都存在,则它们的和、若函数在某点的极限大于0,则该点的函差、积、商的极限也存在,且分别等于它数值也大于0;反之亦然们各自极限的和、差、积、商无穷小量与无穷大量无穷小量在自变量趋近某一值时,函数值趋近于0的量1无穷大量在自变量趋近某一值时,函数值趋近于无穷大的2量无穷小量与无穷大量的关系在自变量趋近某一值时,无穷大量与无穷小量之3比的极限为1(即无穷小量是无穷大量的倒数)03导数与微分导数的概念01导数描述了函数在某一点的斜率02导数可以用来研究函数的单调性、极值和拐点等性质03导数是微积分的基础,是研究函数的重要工具导数的计算导数的计算公式对于基本初等函数,如幂函数、指数函数、三角函数等,都有对应的导数公式导数的四则运算法则导数具有加法、减法、乘法和除法的运算法则,可以用来计算复合函数的导数链式法则对于复合函数的导数,可以使用链式法则进行计算微分的概念与计算微分的计算公式对于基本初等函数,都有对应的微分公式微分的运算法则微分的应用微分具有加法、减法、乘法和除法的运算法微分在近似计算、误差估计等方面有广泛的则,可以用来计算复合函数的微分应用04积分学定积分的概念与性质定积分的定义定积分是积分学中的基本概念,表示一个函数在某个区间上的积分和它可以通过极限的思想和分割、近似、求和、取极限四个步骤来定义定积分的性质定积分具有线性性质、可加性、积分中值定理等性质,这些性质可以帮助我们简化计算和推导定积分的几何意义定积分的值在几何上表示为函数图像与x轴所夹的面积,其正负号取决于函数图像位于x轴上方的部分还是下方定积分的计算微积分基本定理分部积分法换元法微积分基本定理是计算定积分的分部积分法是一种通过将两个函换元法是通过改变积分变量来简核心方法,它将定积分表示为被数的乘积进行求导来计算定积分化定积分的计算,其核心思想是积函数的一个原函数(或不定积的方法,它可以用于处理一些难将一个复杂的积分区间变换为一分)在积分限之间的差值以直接应用微积分基本定理的积个简单的区间,从而简化计算分反常积分无穷区间上的反常积分反常积分可以用于处理函数在无穷区间上的积分,其结果可能为无穷大或不存在根据函数在无穷远处的行为,可以分为无穷区间上的反常积分和瑕点处的反常积分瑕点处的反常积分瑕点处的反常积分是指被积函数在某个点处不连续,导致在该点附近的积分难以处理可以通过将瑕点看作一个新的小区间来处理这类积分05微分方程微分方程的基本概念微分方程定义微分方程是包含未知函数及其导数的等式微分方程分类微分方程解法根据导数的阶数,微分方程可以分为一阶、求解微分方程的方法包括分离变量法、常数二阶和高阶微分方程变易法、参数变易法等一阶微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程是形如y一阶微分方程解法+Pxy=Qx的微分方程,其解法为分离变量法求解一阶微分方程的方法包一阶微分方程定义括积分因子法、常数变易法等一阶微分方程是只包含一个导数的微分方程二阶微分方程二阶微分方程定义二阶微分方程解法二阶微分方程是包含两个导数的微分方程求解二阶微分方程的方法包括降阶法、常数变易法等二阶线性微分方程二阶线性微分方程是形如y+Pxy+Qxy=0的微分方程,其解法为分离变量法06多元函数微积分多元函数的极限与连续性连续性的定义如果一个多元函数在某点处的极限值等于该点的函极限的定义数值,则称该函数在该点连续对于多元函数,其极限是指当各个自变量趋于某点时,函数值趋于某个确定的数值极限的性质与一元函数的极限性质类似,多元函数的极限也具有一些重要的性质,如局部有界性、局部保号性等偏导数与全微分偏导数的定义01对于多元函数,偏导数是指在某个自变量变化时,函数值关于其他自变量的变化率全微分的定义02全微分是指多元函数在某点处所有自变量变化量的线性组合,它反映了函数在该点附近的小变化偏导数与全微分的关系03全微分可以看作是偏导数的线性组合,其系数即为偏导数二重积分二重积分的定义二重积分的几何意义二重积分是计算二维平面区域上的积分,二重积分可以理解为计算由被积函数确定其值等于该区域上被积函数的面积的曲顶柱体的体积二重积分的计算方法二重积分可以通过“先积分子、再积分母”的方法进行计算,也可以通过交换积分次序的方法进行计算THANKS感谢观看。