同济大学高等数学课件D121基本概念

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06.导数的定义导数描述了函数在某一点的导数的性质导数具有一些重要的性质，变化率，是函数局部性质的重要体现如线性性质、常数性质、加减法性质和乘除法性质等导数的几何意义导数在几何上表示函导数的物理意义在物理中，导数可以用来描述物理量的变化率，如速度、加速度、数图像在该点的切线斜率，可以用来研电流强度等究函数的单调性、极值和最值等问题微分的定义微分是函数在某一点的变化率，是函数值的增量与自变量增量的比值微分的性质微分具有线性、可加性、可微性等性质导数与微分的关系导数是函数在某一点的切线斜率，而微分是函数在该点的切线斜率的增量微分的应用微分可以用于求函数的极值、拐点等，也可以用于近似计算和误差分析导数是微分的商，微分是导数的原函数导数描述了函数在某一点处的局部变化率，而微分描述了函数在某个点附近的小变化所引起的函数的大致变化导数是局部的，而微分是整体的导数和微分是互逆运算，它们之间存在着密切的联系定积分的定义定积分定积分的性质定积分定积分的几何意义定积分的物理意义是函数在区间[a,b]上具有线性性质、区间可定积分表示曲边梯定积分可以表示物加性、常数倍性质、函与直线x=a,x=b及x轴围数和的积分等于积分和形的面积体的质量、面积、成的曲边梯形的面积的函数等性质体积等不定积分的定义不定积分是微分的逆运算，表示函数的不定积分不定积分的性质不定积分具有线性性质、常数性质、积分区间上的可加性、积分区间上的可减性、积分区间上的可乘性等不定积分的计算方法常用的计算方法包括换元法、分部积分法等不定积分的应用不定积分在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用，如求解变速直线运动的速度、求解曲线的弧长等定义定积分是函数在性质定积分具有上下计算方法定积分可以使应用定积分可以用于求区间上的积分和的极限，限，不定积分没有上下用牛顿-莱布尼茨公式计解面积、体积、平均值等算，不定积分可以使用微问题，不定积分可以用于不定积分是函数在区间限积分的基本原理计算求解原函数、导数、微分上的原函数族等问题偏导数的定义对于多元函数，偏导数表示函数在某一自变量l固定，其他自变量变化时函数的变化率输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点偏导数的性质偏导数具有连续性、可加性、可微性等性质l偏导数的性质偏导数的性质连续性偏导数在定义域内连续l输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点可加性对于多元函数，偏导数在各个自变量上的偏导数之和l等于函数在该点处的总变化率输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点可微性偏导数是多元函数的偏导数之和，因此偏导数是可微l的输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点l全微分的定义l全微分的基本性质l全微分与偏导数的关系l全微分在多元函数中的应用偏导数的定义全微分的定义偏导数与全微偏导数与全微分的关系分的应用二重积分的定义二重二重积分的性质二重二重积分的几何意义二二重积分的计算方法二积分是定积分在二维空积分具有与定积分相似重积分可以表示二维空间重积分可以通过直角坐标中某个区域的面积，与定系或极坐标系进行计算，间上的推广，表示函数的性质，如线性性质、积分的几何意义类似具体方法与定积分的计算在某个区域上的面积可加性质、可减性质等方法类似三重积分的定义三重积分是定积分在三维空间上的扩展，表示三维空间中体积的量三重积分的性质三重积分具有与定积分相似的性质，如可加性、可减性、可交换性、可结合性等三重积分的物理意义三重积分可以表示三维空间中某种物理量（如质量、体积等）的分布情况三重积分的应用三重积分在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用，如计算物体的体积、质量、重心等二重积分是二维空间的积分，而三重积分是三维空间的积分二重积分和三重积分的计算方法基本相同，都是通过累加累减的方式进行二重积分和三重积分的物理意义不同，二重积分表示面积，而三重积分表示体积二重积分和三重积分的几何意义也不同，二重积分表示二维平面上的曲线与x轴围成的面积，而三重积分表示三维空间中的曲面与x轴、y轴围成的体积定义常微分方程是描述一个或多个未知函数及其导数之间关系的方程单击此处输入你的正文，请阐述观点未知函数通常表示为，其中是自变量y xx单击此处输入你的正文，请阐述观点导数表示函数在某一点的斜率或变化率单击此处输入你的正文，请阐述观点方程形式一般形式为，其中d y/d x=fx,y是给定的函数常微分方程的解法fx,y常微分方程的解法初值问题给定初始条件，求解未知函数的表达式单击此处输入你的正文，请阐述观点边值问题给定函数在边界上的值，求解未知函数在整个定义域内的表达式单击此处输入你的正文，请阐述观点稳定性问题研究解在时间或空间上的变化趋势，判断解是否稳定单击此处输入你的正文，请阐述观点近似解法通过数值方法求解常微分方程的近似解单击此处输入你的正文，请阐述观点定义偏微分方程是包含一个或多个未知函分类线性偏微分方程和非线性偏微分方程数的偏导数的方程偏微分方程的解法单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量偏微分方程的解法言简意赅，单击此处添加正文；分离变量法将多变量问题转化为单变量问有限差分法用离散的有限个点上的近似值题求解来逼近偏微分方程的解单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅，单击此处添加正文；言简意赅，单击此处添加正文；有限元素法将偏微分方程的求解问题转化变分法通过求某个函数的变分来得到偏微为线性代数问题求解分方程的近似解单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅，单击此处添加正文；言简意赅，单击此处添加正文；定义常微分方程是描述一个或多个变量随时间变化的应用领域常微分方程在物理、工程、经济等领域都有方程，而偏微分方程是描述多个变量之间相互关系的方广泛的应用，而偏微分方程在数学、物理、工程等领域程也有广泛的应用类型常微分方程可以分为线性常微分方程和非线性常联系常微分方程和偏微分方程在某些情况下可以相互微分方程，而偏微分方程可以分为椭圆型偏微分方程、转化，例如在求解偏微分方程时，可以通过引入新的变双曲型偏微分方程和抛物型偏微分方程量将其转化为常微分方程进行求解求解方法常微分方程的求解方法主要有分离变量法、特征线法、有限差分法等，而偏微分方程的求解方法主要有有限元法、有限差分法、谱方法等无穷级数的定义无穷级数是无穷无穷级数的分类根据无穷级数的定多个数相加或相乘的数学概念，可义和性质，可以将无穷级数分为收敛级数、发散级数和条件收敛级数等类以表示为无穷序列的和或积型添加标题添加标题添加标题添加标题无穷级数的性质无穷级数具有收敛无穷级数的应用无穷级数在数学分性、连续性和可微性等性质，这些性析、物理、工程等领域中都有广泛的质使得无穷级数在数学分析中具有重应用，例如在微积分、概率论、信号要的作用处理等领域中都有重要的应用傅里叶级数是一种将周期函数表示为无穷级数的方法l输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点傅里叶级数由正弦和余弦函数构成傅里叶级数的性质l傅里叶级数的性质收敛性傅里叶级数在区间内收敛于原函数l输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点唯一性对于给定的函数，傅里叶级数展开是唯一的l输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点逼近性傅里叶级数可以逼近任何周期函数l输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点三角恒等式傅里叶级数中的系数满足三角恒等式l输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点傅里叶级数是无穷级数的一种特殊傅里叶级数的收敛性和基本性质形式添加标题添加标题添加标题添加标题傅里叶级数可以表示为无穷级数的傅里叶级数在数学、物理等领域的和应用。