数值分析课件第八章-数值积分

PPT,a clickto unlimitedpossibilities汇报人PPTC ON TE NT SPARTONEPART TWO数值积分是一种近似计算方法，用于求解定积分数值积分通过将积分区间划分为若干个小区间，然后对每个小区间进行近似计算，最后将所有近似值相加得到积分值数值积分的精度取决于划分的区间数和近似计算方法常见的数值积分方法有梯形法、辛普森法、高斯法等矩形法将积分区间划分为若干个辛普森法将积分区间划分为若干矩形，计算每个矩形的面积，然后个梯形，计算每个梯形的面积，然求和后求和，适用于光滑函数添加标题添加标题添加标题添加标题梯形法将积分区间划分为若干个自适应积分法根据函数值的变化梯形，计算每个梯形的面积，然后情况，自动调整积分区间的划分，求和提高计算精度l数值积分是对连续函数的离散化近似l数值积分的近似误差与离散化方法、离散化精度有关l数值积分的近似误差可以通过选择合适的离散化方法、提高离散化精度来减小l数值积分的近似误差与被积函数的性质、积分区间的长度、积分点的分布等因素有关PART THREE矩形法的基本思想将积分区间划分为若矩形法的计算公式∫fxdx≈∑fxiΔxi，干个小矩形，然后计算每个小矩形的面积，其中xi是积分区间内的节点，Δxi是相邻最后求和得到积分值两个节点的差值矩形法的优缺点优点是简单易行，缺点矩形法的改进为了提高精度，可以采用更高阶的矩形法，如梯形法、辛普森法等是精度较低，适用于积分区间较短、函数变化较慢的情况原理将积分区间等分为若干个小区间，在每个小区间内用直线代替曲线，然后计算这些小区间的梯形面积之和作为积分的近似值优点计算简单，易于实现缺点精度较低，当积分区间较大时，误差较大适用范围适用于积分区间较小、函数变化较缓慢的情况辛普森法是一种辛普森法通过将辛普森法的优点辛普森法适用于数值积分方法，积分区间等分，是计算速度快，计算光滑函数的用于计算定积分然后计算每个子精度高定积分，不适用区间的函数值，于计算不连续或最后求和得到积奇异函数的定积分值分原理利用导数的定义，公式∫fxdx=Fx应用广泛应用于求解定优点计算简便，易于实将积分转化为求导+C积分、不定积分等问题现，适用于大多数函数PART FOUR数值方法本身数值计算过程的误差中的舍入误差数值积分的截数值积分的舍断误差入误差误差来源数值积分方法、计算精度、数据误差等误差估计方法直接估计、间接估计、数值模拟等误差分析误差的性质、大小、分布等误差控制提高计算精度、选择合适的数值积分方法等选择合适的积分方法如梯形提高计算精度增加积分区间法、辛普森法、高斯法等的划分，减小步长避免数值不稳定选择稳定的减小舍入误差采用高精度计积分方法，如辛普森法、高斯算方法，如双精度、四精度等法等PART FIVE收敛性数值积分方法在计算过程中，随着步长的减小，计算结果逐渐接近真实值的性质收敛速度收敛速度是指数值积分方法在计算过程中，计算结果接近真实值的速度稳定性数值积分方法在计算过程中，对于不同的步长和初始值，计算结果保持稳定的性质收敛性和稳定性的关系收敛性和稳定性是数值积分方法的两个重要性质，它们共同决定了数值积分方法的准确性和可靠性l稳定性的定义数值积分方法在计算过程中，其误差随着计算步长的减小而减小，称为稳定性l稳定性的性质稳定性是数值积分方法的一个重要性质，它决定了数值积分方法的精度和可靠性l稳定性的分类稳定性可以分为绝对稳定性和相对稳定性l绝对稳定性如果数值积分方法对任意的输入函数和步长都能保证误差的减小，则称为绝对稳定性l相对稳定性如果数值积分方法对某些特定的输入函数和步长能保证误差的减小，则称为相对稳定性收敛性数稳定性数关系收敛性影响因素收应用在实际和稳定性是数值积分方法值积分方法敛性和稳定性应用中，需要值积分的两个收敛到真实对初始值和受到算法、数根据具体问题重要特性，它据精度、初始选择合适的数解的程度误差的敏感们共同决定了值等因素的影值积分方法，程度数值积分方法响以兼顾收敛性的准确性和可靠性和稳定性PART SIX计算流体力学模拟流体流动、热传导等物理现象结构力学模拟建筑物、桥梁等结构的受力情况电磁学模拟电磁场分布和电磁波传播量子力学模拟量子系统的演化和量子态的制备结构分析计算结构应力、应变、位移等流体力学计算流体压力、速度、温度等热传导计算热传导系数、温度分布等电磁场计算电磁场强度、电场强度、磁场强度等l股票价格预测利用数值积分方法对股票价格进行预测l风险评估利用数值积分方法对金融风险进行评估l投资组合优化利用数值积分方法对投资组合进行优化l期权定价利用数值积分方法对期权进行定价l物理模拟用于模拟物理现象，如流体力学、热传导等l工程计算用于工程设计，如结构分析、控制系统设计等l生物医学用于生物医学研究，如药物设计、基因分析等l天文计算用于天文观测和数据分析，如星体运动、宇宙演化等汇报人PPT。