华中科技大学研究生矩阵论课件

添加副标题矩阵论课件汇报人PPT目录PART OnePART Two矩阵论概述矩阵的线性变换PART ThreePART Four矩阵的逆与行列式矩阵的特征值与特征向量PART FivePART Six矩阵的正定与半正矩阵的应用实例定PART ONE矩阵论概述矩阵的定义与性质矩阵的定义由m行n列的数组成的矩阵的运算加法、减法、乘法、m*n个数阵转置等添加标题添加标题添加标题添加标题矩阵的性质对称性、线性性、可矩阵的应用线性代数、数值分析、逆性等优化理论等矩阵的运算规则加法矩阵的加法是将两个矩阵对应元除法矩阵的除法是将一个矩阵除以另素相加，得到一个新的矩阵一个矩阵，得到一个新的矩阵减法矩阵的减法是将一个矩阵减去另转置矩阵的转置是将矩阵的行和列互一个矩阵，得到一个新的矩阵换，得到一个新的矩阵乘法矩阵的乘法是将两个矩阵对应元逆矩阵矩阵的逆矩阵是将矩阵的每个素相乘，得到一个新的矩阵元素取倒数，得到一个新的矩阵矩阵的分解与变换矩阵分解将矩阵分解为更简单的形式，如LU分解、QR分解等矩阵变换将矩阵进行线性变换，如旋转、缩放、平移等矩阵的相似性研究矩阵之间的相似关系，如相似矩阵、相似变换等矩阵的秩研究矩阵的秩，如秩的性质、秩的求法等PART TWO矩阵的线性变换向量空间与线性变换线性变换将向量空间中的线性变换的性质保持向量向量映射到另一个向量空间的线性结构，即保持向量的的映射加法和数乘运算向量空间由向量组成的集线性变换的应用在物理、合，具有线性结构工程、经济等领域有广泛应用矩阵表示的线性变换矩阵表示用线性变换将矩阵乘法矩矩阵的性质矩阵表示线性向量从一个空阵与向量的乘矩阵的线性变变换间映射到另一法表示线性变换性质，如可个空间的映射换逆性、相似性等线性变换的性质与分类l线性变换的定义将向量空间映射到另一个向量空间的映射l线性变换的性质保持向量加法和数乘运算l线性变换的分类可逆线性变换、不可逆线性变换、正交线性变换、酉线性变换等l线性变换的应用在数学、物理、工程等领域有广泛应用线性变换的矩阵表示矩阵表示线性变换可以用矩阵乘法线性变换的矩阵一个矩阵来表示表示可以通过矩阵乘法来实现线性变换的定义将一个向矩阵的性质线性变换的矩量空间映射到另一个向量空阵表示具有一些特殊的性质，间的映射如可逆性、相似性等PART THREE矩阵的逆与行列式逆矩阵的定义与性质逆矩阵的定义逆矩阵的性质逆矩阵的求法逆矩阵的应用逆矩阵在解线一个矩阵的逆逆矩阵是唯一可以通过高斯性方程组、求矩阵是指满足的，如果A有逆消元法、矩阵矩阵的秩、求A*B=I的矩阵B，矩阵，那么A的求逆公式等方矩阵的特征值其中A和B都是逆矩阵也是唯法求解逆矩阵和特征向量等方阵，I是单位一的方面都有广泛矩阵的应用行列式的定义与性质定义行列式是一个数，表示一个方阵的行列式性质行列式是一个数，表示一个方阵的行列式性质行列式是一个数，表示一个方阵的行列式性质行列式是一个数，表示一个方阵的行列式行列式的计算方法初等变换法通过行（列）变换将矩阵化为行（列）阶梯形矩阵，然后计算行列式代数余子式法利用行列式的性质，通过计算代数余子式来计算行列式矩阵求逆法通过计算矩阵的逆矩阵，然后计算行列式特征值法通过计算矩阵的特征值和特征向量，然后计算行列式逆矩阵的计算方法初等变换法通过行变换将矩阵化矩阵分解法通过将矩阵分解为两为行最简形，然后进行列变换得到个矩阵的乘积，然后分别计算两个逆矩阵矩阵的逆矩阵，最后进行矩阵乘法得到逆矩阵添加标题添加标题添加标题添加标题伴随矩阵法通过计算矩阵的伴随公式法对于特殊类型的矩阵，如矩阵，然后进行行列式运算得到逆对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩矩阵阵等，可以直接使用公式计算逆矩阵PART FOUR矩阵的特征值与特征向量特征值与特征向量的定义特征值矩阵A的n个特征值是n个特征值与特征向量的关系特征值非负实数，满足Ax=λx，其中x是与特征向量是一一对应的，即每个特征向量，λ是特征值特征值对应一个特征向量添加标题添加标题添加标题添加标题特征向量矩阵A的n个特征向量是特征值与特征向量的应用特征值n个非零向量，满足Ax=λx，其中与特征向量在矩阵分解、线性规划、λ是特征值信号处理等领域有广泛应用特征值与特征向量的性质特征值是矩阵的特特征值是矩阵的特特征值是矩阵的特特征值是矩阵的特征值，特征向量是征值，特征向量是征值，特征向量是征值，特征向量是矩阵的特征向量矩阵的特征向量矩阵的特征向量矩阵的特征向量特征值与特征向量的计算方法特征值矩阵A的特征值是满足计算方法通过求解特征方程A-Ax=λx的x的解，其中λ是特征值，λI=0得到特征值，然后通过求解x是特征向量A-λIx=0得到特征向量添加标题添加标题添加标题添加标题特征向量满足Ax=λx的x的解，应用特征值与特征向量在矩阵分其中λ是特征值，x是特征向量解、线性规划、控制系统等领域有广泛应用特征值与特征向量的应用l线性代数求解线性方程组、矩阵分解等l物理学描述振动系统的频率和振幅l经济学分析经济系统的稳定性和动态行为l计算机科学图像处理、数据压缩、机器学习等领域的应用PART FIVE矩阵的正定与半正定正定矩阵的定义与性质正定矩阵所有特征值均为正的矩阵性质1正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵性质2正定矩阵的平方根矩阵也是正定矩阵性质3正定矩阵的行列式大于零性质4正定矩阵的迹（即对角线元素之和）大于零性质5正定矩阵的平方矩阵也是正定矩阵半正定矩阵的定义与性质l定义半正定矩阵是指所有特征值都大于等于零的矩阵l性质半正定矩阵的转置也是半正定矩阵l性质半正定矩阵的平方也是半正定矩阵l性质半正定矩阵的逆矩阵也是半正定矩阵正定矩阵的判别方法特征值判别法如果矩阵的所有特征值都是正的，那么矩阵是正定的主子式判别法如果矩阵的所有主子式都是正的，那么矩阵是正定的顺序主子式判别法如果矩阵的所有顺序主子式都是正的，那么矩阵是正定的半正定矩阵的判别方法如果矩阵的所有特征值都是非负的，那么矩阵是半正定的正定矩阵的应用线性规划求解线性特征值计算矩阵的稳定性分析分析系规划问题特征值和特征向量统的稳定性图论解决图论中的信号处理处理信号控制理论分析控制最短路径问题和图像数据系统的稳定性和性能PART SIX矩阵的应用实例矩阵在图像处理中的应用l图像处理中的矩阵运算如卷积、傅里叶变换等l矩阵在图像增强中的应用如对比度增强、边缘检测等l矩阵在图像分割中的应用如阈值分割、区域生长等l矩阵在图像识别中的应用如特征提取、分类器设计等矩阵在数据挖掘中的应用数据预处理聚类分析使关联规则挖掘推荐系统使使用矩阵进行用矩阵进行数使用矩阵进行用矩阵进行推数据降维、特据聚类，如K-关联规则挖掘，荐系统构建，征选择等操作means、层次如Apriori算如协同过滤、聚类等法、FP-矩阵分解等growth算法等矩阵在控制系统中的应用状态空间模型传递函数模型控制系统设计控制系统仿真描述系统动态特描述系统输入输利用矩阵进行稳利用矩阵进行系性出关系定性分析、控制统仿真和性能评器设计等估矩阵在其他领域中的应用计算机科学用于图形处经济学用于经济模型、物理学用于力学、电磁理、图像处理、数据压缩金融分析等领域学、光学等领域等领域生物学用于基因分析、工程学用于结构分析、社会科学用于社会网络蛋白质结构分析等领域控制系统设计等领域分析、人口统计等领域THANK YOU汇报人PPT。