《离散数学图论》课件

离散数学图论汇报人PPT添加目录标题图的矩阵表示0104离散数学图论概述图的连通性算法0205目录图的基本概念图的最短路径问题0306添加章节标题离散数学图论概述离散数学图论的定义离散数学图论是研究图和网络的数学分支图论研究的对象是图，包括有向图和无向图图论研究的内容包括图的连通性、路径、匹配、网络流等图论在计算机科学、运筹学、物理学、化学等领域有广泛应用离散数学图论的发展历程18世纪末，欧拉图论的提出，奠定了图论的基础19世纪初，柯尼斯堡七桥问题，推动了图论的发展20世纪初，图论在计算机科学中的应用，推动了图论的发展20世纪中叶，图论在通信网络、社交网络等领域的应用，推动了图论的发展离散数学图论的应用领域计算机科学用于网络拓数学用于图论、组合数物理学用于量子力学、扑、路由算法、数据库设学、代数拓扑等领域统计力学等领域计等领域生物学用于蛋白质结构、社会科学用于社会网络基因调控等领域分析、经济模型等领域图的基本概念图的定义和表示方法图的定义由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系节点表示方法用点或圆圈表示边表示方法用线或弧线表示图的表示方法可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示顶点和边的基本概念l顶点图中的基本元素，表示一个对象或事件l边连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系l度一个顶点的度是指与其相连的边的数量l路径从一个顶点到另一个顶点的边的序列l连通图图中任意两个顶点之间都存在路径l强连通图图中任意两个顶点之间都存在双向路径图的连通性定义图中任连通分量图强连通分量连通图图中强连通图图意两个顶点之中所有连通顶图中所有强连任意两个顶点中任意两个顶间都存在路径点的集合通顶点的集合之间都存在路点之间都存在径的图强路径的图图的遍历算法l深度优先搜索（DFS）从起始点开始，沿着一条路径一直走到底，如果无路可走，就返回到上一个节点，继续探索其他路径l广度优先搜索（BFS）从起始点开始，先访问所有相邻的节点，然后再访问相邻节点的相邻节点l拓扑排序将图中的所有节点按照某种顺序排列，使得所有有向边都从排在前面的节点指向排在后面的节点l强连通分量在一个有向图中，如果两个节点之间存在一条从第一个节点到第二个节点的路径，并且从第二个节点到第一个节点也存在一条路径，那么这两个节点就是强连通的图的矩阵表示邻接矩阵的定义和性质定义邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其性质邻接矩阵中的元素只有0和1，中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示其中0表示两个顶点之间没有边相连，图中顶点之间的连接关系1表示两个顶点之间有一条边相连应用邻接矩阵可以用于表示图的连通特点邻接矩阵的存储和计算效率较高，适用于大规模图的处理和分析性、路径长度等信息，是图论中常用的表示方法之一图的矩阵表示方法邻接矩阵表示关联矩阵表示距离矩阵表示权矩阵表示图邻接矩阵和关联距离矩阵和权矩图中顶点之间的图中顶点之间的图中顶点之间的中顶点之间的权矩阵的转换关系阵的转换关系连接关系关联关系最短距离关系矩阵运算在图论中的应用矩阵表示用矩阵表示图的节点和边矩阵运算矩阵加法、乘法、逆矩阵等应用求解最短路径、最大流、最小割等问题矩阵表示的优点简洁、直观、易于计算图的连通性算法深度优先搜索算法l基本思想从起始点开始，沿着一条路径一直走到底，如果无法继续前进，就返回到上一个节点，尝试其他路径l特点能够找到从起始点到目标点的最短路径，但需要消耗大量的时间和空间l应用场景在图论中，深度优先搜索算法常用于求解图的连通性问题，如求最小生成树、求最短路径等l实现方法通常使用递归或栈来实现深度优先搜索算法广度优先搜索算法基本思想从起特点可以找到应用场景适用实现方法使用队列数据结构，始点开始，沿着最短路径，但时于求解无权图的将起始节点入队，当前节点的所有间复杂度较高最短路径问题然后依次处理队邻接点进行搜索，列中的每个节点，直到找到目标节直到找到目标节点为止点或队列为空算法和算法D ijks tr aP rimDijkstra算法用于Prim算法用于求解最Dijkstra算法的时Prim算法的时间复求解单源最短路径问小生成树问题，通过不间复杂度为On^2，杂度为On^2，适题，通过不断更新最断寻找最小权重的边来构建最小生成树适用于稠密图用于稀疏图短路径来寻找最短路径算法F loyd-W ar sh al l原理通过动态规步骤初始化距离应用解决多源最特点时间复杂度为On^3，空间复杂度矩阵，循环更新距短路径问题，如交划思想，计算任意为On^2，适用于稠离矩阵，输出最终通网络、社交网络两点间的最短路径密图和稀疏图结果等图的最短路径问题最短路径问题的定义和求解方法定义在图中找到从起点到终点的最短路径，使得路径上的总权重最小求解方法Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法、Bellman-Ford算法等Dijkstra算法适用于非负权重的图，通过贪心策略找到最短路径Floyd-Warshall算法适用于所有权重的图，通过动态规划找到最短路径Bellman-Ford算法适用于所有权重的图，通过动态规划找到最短路径，可以处理负权重的情况单源最短路径问题问题定义在图中找到从某个源点算法Dijkstra算法、Floyd-到所有其他顶点的最短路径Warshall算法等添加标题添加标题添加标题添加标题应用场景交通网络、物流配送、问题扩展多源最短路径问题、最电路设计等小生成树问题等多源最短路径问题定义在图中寻找从多个源点到所算法Floyd-Warshall算法、有其他顶点的最短路径Dijkstra算法等添加标题添加标题添加标题添加标题应用场景物流配送、交通规划、特点需要计算所有源点到所有其网络路由等他顶点的最短路径，计算复杂度较高最短路径问题的应用场景交通网络寻找最物流配送优化配社交网络寻找最生物信息学分析基因序列，寻找最短路径，优化交通送路径，降低配送短路径，提高信息短路径，提高基因流量成本传播效率测序效率图的匹配和优化问题图的匹配问题定义和求解方法定义图的匹配是指在图中找到一组边，使得每条边都互不相交，且每个顶点最多有一条边求解方法匈牙利算法是最常用的求解图的匹配问题的方法，它通过寻找增广路径来增加匹配数，直到找不到增广路径为止应用图的匹配问题在计算机科学、数学、物理学等领域都有广泛的应用，如电路设计、网络优化、资源分配等扩展除了匈牙利算法，还有其他一些求解图的匹配问题的方法，如Kuhn-Munkres算法、Edmonds算法等二分图的最大匹配问题定义二分图是指图中的最大匹配在二分图中，匈牙利算法一种解决二应用二分图的最大匹配顶点可以分成两个不相交找到一条边数最多的匹分图最大匹配问题的经典问题在计算机科学、数学、的集合，使得每条边都连算法，通过寻找增广路径经济学等领域有着广泛的配，使得每条边都连接接两个不同集合的顶点来增加匹配的边数应用，如网络流、稳定婚两个不同集合的顶点姻问题等图的着色问题l定义图的着色问题是指将图中的顶点用不同的颜色标记，使得任意两个相邻顶点的颜色不同l着色数图的着色数是指图中顶点的最小着色数l着色算法常用的着色算法有贪心算法、动态规划算法等l应用图的着色问题在计算机科学、数学、物理等领域有着广泛的应用图的优化问题的应用场景网络路由优化网络流量，图像处理优化图像分割，物流配送优化配送路径，社交网络优化社交网络提高传输效率提高图像质量降低配送成本结构，提高用户活跃度感谢您的观看汇报人PPT。