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05.积分换元法是一种积分换元法通过引积分换元法适用于积分换元法可以提入新的变量,将复数学方法,用于解求解含有复杂函数高求解积分问题的杂的积分问题转化决积分问题的积分问题效率和准确性为简单的积分问题积分换元法是一种数学方法,用于解决积分问题原理通过引入新的变量,将复杂的积分问题转化为简单的积分问题应用积分换元法广泛应用于微积分、概率论、统计学等领域优点简化计算过程,提高计算效率解决复杂积分问题简化积分计算过程提高积分计算效率应用于工程、物理、数学等领域换元法将积分中的变量替换为另一个变量目的简化积分计算应用适用于积分中含有三角函数、指数函数、对数函数等例子将x替换为sinx,将y替换为lnx等换元法将积分目的简化积分应用适用于积分步骤选择合适的中含有三角函数、换元变量,进行积中的变量替换为计算指数函数等复杂函分变换,最后还原另一个变量数的情况换元变量l定义将积分区间分成若干个小区间,然后在每个小区间内进行换元l特点适用于积分区间为无穷区间或区间端点为无穷大的情况l应用在解决一些复杂的积分问题时,第三类换元法可以简化计算过程l注意事项在使用第三类换元法时,需要注意换元后的积分区间是否仍然满足积分条件,以及换元后的积分函数是否仍然可积l确定积分区间根据题目要求,确定积分区间的范围l确定积分变量根据题目要求,确定积分变量l确定积分上限根据题目要求,确定积分上限l确定积分下限根据题目要求,确定积分下限l确定积分区间的端点根据题目要求,确定积分区间的端点l确定积分区间的长度根据题目要求,确定积分区间的长度确定换元函数选确定换元范围确定确定换元公式将确定换元积分计确定换元结果将换择合适的换元函数,换元函数的定义域和原积分中的变量替元积分的结果替换回算新的积分,得到值域,确保积分在换原积分中的变量,得使得积分更容易计换为换元函数,得换元积分的结果元后仍然有意义到原积分的结果算到新的积分公式计算新积分变量计算新积分变量,如du=确定积分区间确定积分区间,如[a,b]gx dx计算新积分区间计算新积分区间,如[a,确定积分变量确定积分变量,如xb]对应[ua,ub]确定换元函数确定换元函数,如u=计算新积分计算新积分,如∫fx dx=gx∫fu du确定积分区间和被积函数选取适当的换元变量计算新的积分区间和被积函数计算新的积分值代入换元公式,得到原积分的值实例2计算∫x^3+1dx实例3计算∫x^4+1dx实例1计算∫x^2+1dx实例4计算∫x^5+1dx积分换元法将复杂积分转实例5计算∫x^6+1dx化为简单积分求积分∫x^2+1dx换元令u=x^2+1,du=2xdx积分∫udu=u^2/2+C换回原变量x^2+1=u,x^2=u-1,x=√u-1结果√u-1^2/2+C=u^2/4+C换元法将积分中的变量替换为另换元令x=t^2-1,则dx=2tdt一个变量添加标题添加标题添加标题添加标题实例计算∫x^2+1dx计算∫t^4-2t^2+1dt=∫t^2-1^2dt=t^3-t+C换元函数必须连续换元函数必须可导换元函数在积分区换元函数在积分区间内必须单调间内必须可积积分上下限的变换在积分换元法中,新的变量需要满足一定在积分换元法中,的条件,如单调性、可需要满足一定的条积分上下限的变换积分上下限的变换导性等,以保证积分换件,如积分区间的通常是通过引入新通常是通过引入新元法的正确性和有效性连续性和可导性等的变量来实现的的变量来实现的积分换元法是一种常用的积分方法,其基本思想是将复杂积分转化为简单积分在积分换元法中,原积分的值不变性是保证积分结果正确的关键原积分的值不变性是指在积分换元过程中,原积分的值保持不变原积分的值不变性可以通过积分换元公式来证明,即∫fxdx=∫fudu,其中u=gx,gx≠0。