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文本内容:
,01无穷级数的定义02无穷级数的性质03无穷级数的求和04无穷级数的应用05无穷级数的扩展知识无穷级数是一种特殊的函数,无穷级数由无穷多个项组成,其定义域为全体实数每个项都是一个函数无穷级数的和是一个函数,其无穷级数的和是一个函数,其值域为全体实数值域为全体实数l级数表示将无穷级数表示为a_1+a_2+a_3+...的形式l通项表示将无穷级数表示为a_n=fn的形式,其中fn是n的函数l收敛半径表示将无穷级数表示为a_n=fn/r^n的形式,其中r是收敛半径l幂级数表示将无穷级数表示为a_n=fnx^n的形式,其中x是幂级数的变量交错级数各项符号交替的绝对收敛级数各项绝对值无穷级数之和收敛的无穷级数负项级数各项均为负数的条件收敛级数各项绝对值无穷级数之和不收敛,但满足一定条件的无穷级数正项级数各项均为正数的发散级数各项绝对值之和无穷级数发散的无穷级数收敛性无穷级数是否收敛,取决于其通项的极限是否为0绝对收敛性无穷级数绝对收敛,当且仅当其通项的绝对值极限为0条件收敛性无穷级数条件收敛,当且仅当其通项的极限不为0,但存在某个常数使得其绝对值小于该常数发散性无穷级数发散,当且仅当其通项的极限不为0,且不存在某个常数使得其绝对值小于该常数l收敛性无穷级数是否收敛,取决于其通项的极限是否为0l绝对收敛性无穷级数是否绝对收敛,取决于其通项的绝对值的极限是否为0l条件收敛性无穷级数是否条件收敛,取决于其通项的极限是否为0,且其绝对值的极限不为0l发散性无穷级数是否发散,取决于其通项的极限是否为0,且其绝对值的极限不为0加法结合律两个无交换律无穷级数中加法交换律两个无乘法交换律两个无穷级数相加时,可以的项可以任意交换位穷级数相加时,可以穷级数相乘时,可以任意组合它们的项置,不影响其和交换它们的项交换它们的项乘法结合律两个无加法分配律两个无乘法分配律两个无穷级数相乘时,可以穷级数相加时,可以穷级数相乘时,可以任意组合它们的项任意分配它们的项任意分配它们的项可结合性无穷级数可以合并为一个新的无穷级数合并条件两个无穷级数的公比相同合并方法将两个无穷级数的公比相加,得到新的无穷级数的公比合并结果新的无穷级数的和等于两个无穷级数的和的公比之和有限项求和的定义将无穷级数中的有限项相加,得到部分和有限项求和的方法直接相加、利用公式、使用数学软件等有限项求和的应用计算近似值、估计误差、验证收敛性等有限项求和的注意事项注意收敛性、避免错误估计等级数展开法适用于某些特幂级数法适用于某些特殊殊形式的无穷级数形式的无穷级数积分法适用于某些特殊形留数定理法适用于某些特式的无穷级数殊形式的无穷级数直接求和法适用于简单、傅里叶级数法适用于某些规律的无穷级数特殊形式的无穷级数l调和级数1/1+1/2+1/3+...l几何级数1+2+4+8+...l幂级数1+x+x^2+x^3+...l傅里叶级数sinx+sin2x+sin3x+...l微积分无穷级数是微积分的基础,用于求解极限、导数、积分等问题l解析函数无穷级数是解析函数的基础,用于求解函数值、导数、积分等问题l傅里叶级数无穷级数是傅里叶级数的基础,用于求解信号处理、图像处理等问题l泰勒级数无穷级数是泰勒级数的基础,用于求解函数值、导数、积分等问题热力学用于描述热力学系统的状态和变化电磁学用于描述电磁场的分布和变化光学用于描述光的传播和干涉现象量子力学用于描述量子系统的状态和演化信号处理用于滤波器设计、信号分析等控制系统用于控制系统的设计和优化电子工程用于电路分析、电磁场分析等机械工程用于机械系统的动力学分析、振动分析等l级数与几何图形的关系l级数与积分的关系l级数与微分方程的关系l级数与傅里叶变换的关系收敛域的定义收敛域的求法收敛域的应用收敛域的性质无穷级数在收利用比值审敛在数学分析、收敛域是闭集,敛区域内的收法、根式审敛函数论、微积且具有连续性、敛性法等方法求解分等领域有广单调性等性质泛应用泰勒级数将函数展开为傅里叶级数将周期函数拉普拉斯变换将函数展无穷级数形式展开为无穷级数形式开为无穷级数形式洛朗级数将函数展开为幂级数将函数展开为无拉格朗日级数将函数展无穷级数形式穷级数形式开为无穷级数形式。