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22.
22.
32.
42.
84.
84.
104.
104.
146.
146.
156.
1.1图一级倒立摆装置简图基于倒立摆的现代控制模型建立及分析
1.1第二章倒立摆系统建模状态空间表达式数学模型建立
2.1倒立摆系统由质量为的小车和质量为,长度为的的连杆即摆构成连杆的
2.
1.1一端与小车通过旋转关节自由连接,即该关节无驱动力矩该机械系统目的是操作m ml小车的驱动力,使得摆稳定在倒立点上,即连杆不倒下,即不超过预先定义好的一个垂直偏离角度范围图为倒立摆系统图,小车位移为,摆的角度为f在系统数学模型中,首先假设()摆杆为匀质刚体;()忽略摆杆与支点间
2.1x的摩擦;()忽略小车与导轨的摩擦12图倒立摆系统图3ylΘofmmgx
2.1摆杆质心的绝对位移为系统的初始状态,根据牛顿第二运动定律,对系统整体水平方向受力分析,求得方程()0h x lsin0()d2xd2f tm2m2()对摆杆点取力矩平衡,得到方程xlsin2-1dtdt o()
27.5°d2hm0m2cos mglsin0基于倒立摆的现代控制模型建立及分析2-2dt2方程()()是非线性方程,由于控制的目的是保持倒立摆直立,在施加的外力条件下,假定很小,接近于零是合理的则,在以上假12设条件下,对方程线性化处理后,得到倒立摆系统的数学模型为sin cos1()()()状态变量及状态空间表达式2-3m mlf tmxx在用状态空间法分析系统是,系统的动态特性是用状态变量构成的一阶微分方程组2-4l glx
2.
1.2描述的它能反映系统的全部独立变量的变化,从而能同时确定系统的全部内部运动状态,而且还可以方便的处理初始条件)为系统的一组状态变量,输入为(),输出,,取(,,
[1],)(,,则系统的状态方程为t uf t x1x2x3x4t x xy x()01x0x2x304x010mg0m00m m g0ml00x110x2m u,,,1x30x104ml x1xy1为便于计算,假设小车的质量,摆杆质量,摆0002杆长度为,,则系统状态方程为x3x4m=1kg m=
0.2kgl=
0.5mg=10m/s2ax bu其中,,y cxx,,,00a001002000240001b倒立摆系统的原始模拟结构图如图所示c1000基于倒立摆的现代控制模型建立及分析
01022.2图倒立摆系统的原始模拟结构图u+x x1-2x2x1y22-x4x4x33+x
242.2系统的约旦标准型根据系统的特征方程,得到(),解得特征值为
2.
1.3,,i a022240对应于,由(),解得特征向量对应于
12034.
89944.899,由(),解得特征向量对应于t101i ap10p11000,由(),解得特征202i ap2p1p0100t2对应于,由(),解得特征
34.8993i ap30p
14.
8991258.788t
344.8994i ap40由特征向量组成的变换矩阵pt
414.
8991258.788,
101100.08330t
014.
8994.
899100.08331t
10001212000.
04170.0085量量向向
0058.
78858.
788000.
04170.00854基于倒立摆的现代控制模型建立及分析约旦标准型矩阵变换后的相关矩阵为,001tat
0010000004.
8990004.899t1b
00.
8330.
0170.017系统的并联实现ct1011系统的传递函数为()()t
2.
1.4()00s100s201w sc si a()()1b100000s100024s2w s()()()用矢量矩阵形式表示为14s2s2s2241w s
145150.
0170.01722222sss246s6s26s266ss
4.898s
4.89810x x20x3040x1x10倒立摆并联0型0模0拟结x构2图如1图u所示
04.8990x
31004.899x4100x1x2y
0.
833000.
0170.017x3x4基于倒立摆的现代控制模型建立及分析
2.3图倒立摆并联型模拟结构图2x x21x x
10.
08334.489u++3xx
30.017+++y-
4.489++x44x-
0.
0172.3基于倒立摆的现代控制模型建立及分析第三章倒立摆系统状态空间表达式的解状态转移矩阵根据约旦标准型矩阵,求得
3.1()10at1e tt t
00011114.
8994.
8990012120058.
78858.7880t00110000e
4.899t0000e
4.899t
000.
08330100.
083300.
04170.
008500.
04170.00851000t
0.
08330.0417e
4.899t
0.0417e
4.899t
0.0833t
0.0085e
4.899t
0.0085e
4.899t
10.2043e
4.899t
0.2043e
4.899t
0.0833系0统.04在16单e4位.8阶99跃t函0数.0作416用e下的
4.8解99t
00.5e
4.899t
0.5e
4.899t
0.102e
4.899t
0.102e
4.899t
02.451e
4.899t
2.451e
4.899t
0.5e
4.899t
0.5e
4.899t
3.2初始时刻为,初始状态(),输入()(),根据()()()()()t00x00u t1t()x tt x0t bud()()()0t1t0000t
0.
08330.0417e
4.899t()()
0.0417e
4.899t
0.0833t
0.0085e
4.899t()()
0.0085e
4.899t
010.2043e
4.899t()()()()
0.2043e
4.899t
0.
08330.0416e
4.899t
0.0416e
4.899()()()t1d
4.899t
4.899t
4.899t
4.899()()t
000.5e
0.5e
0.102e
0.102e
4.899t
4.899t()
4.899t
4.899t()()()
202.451e
2.451e
0.5e
0.5e t
0.1666t()()
0.017e
4.899t
0.017e
4.899t
4.899t
4.899()()()tt
0.
8330.0832e
0.0832e d
00.204e
4.899t
0.204e
4.899t
4.899t
4.899te e
2.04t
20.00347e
4.899t
0.00347e
4.899t
4.899t
4.899t
0.
8160.0169e
0.0169e
0.0416e
4.899t
0.0416e
4.899t
4.8基于倒立摆的现代控制模型建立及分析99t
4.899t
0.204e
0.204e7第四章倒立摆系统的能控性和能观性在现代控制理论中,能控性和能观性是两个很重要的概念,是卡尔曼在年首先提出来,它是最优控制和最优估计的设计基础1960倒立摆系统的能控性
4.1对于线性连续定常系统,如果存在个分段连续的输入(),能在有限时间区间,使系统由某一初始状态(),转移到指定的任一终端状态u t()则称此系统是状态完全能控的系统的能控性完全取决于系统的结构、参t0tf x t0x数以及控制作用的施加点tf判断该倒立摆系统能控性有如下几种方法()根据图倒立摆系统的原始模拟结构图,可以看出该系统是完全能控的()由系统约旦标准型矩阵,可以看出输入矩阵中相应于约旦块的最后一行元
12.2素不为零,故该系统是能控的2b()根据能控判别矩阵,(),故系统是完全能3m baba2b04011040控的a3b0204820480rank m=n=4倒立摆系统的能控标准型倒立摆系统属于单输入单输出系统,在能控判别证中只有唯一的一组线性无关量,
4.2因此系统的能控标准型是唯一的能控标准Ⅰ型进行非奇异变化,将原状态空间表达式化成
4.
2.1x tc1x基于倒立摆的现代控制模型建立及分析ax buy cxx系统特征方程为,即,,,1aabb3a2a101a3a2001a30001tc1a3ba2b42420a00a10a224a30010104040110tc
148020240048020240010020010002000000201000200.
02500.
0500.
0500.025tc
11000.
500000.500a tc11atc10010010002400当然也可根据系统输入输出传递函数()00b tc11b c ctc120010,直接写出和0101s220w s能控标准Ⅱ型4a c进行非奇异变化,将原状态空间表达式化成s24s
24.
2.2,x tc2xax buy cxxtc2m baba2b040110403ab
02048204801.
200.
101.
200.10tc
2100.
0500.
0250.
0500.02509基于倒立摆的现代控制模型建立及分析倒立摆系统的能观性01tat1ac1c100001000000b c ctc2对于线性连续定常系统,对任意给定的输入(),在有限观测时间,使得
00011024010204.3根据,期间的输出(),能唯一的确定系统在初始时刻的状态u ttf t0(),则称状态()是可观测的t0tf yt x()根据图倒立摆系统的原始模拟结构图,可以看出该系统是完全能观的t0x t0()由系统约旦标准型矩阵,可以看出输出入矩阵中相应于每个约旦块开头的
12.2一列元素不为零,故该系统是能观的2c()根据能控矩阵能观的c1ca03n2ca03ca0,(),故系统是完全倒立摆系统的能观标准型000100rank n=n=4能观标准Ⅰ型
0200024.4进行非奇异变化,将原状态空间表达式化成
4.
4.1x t01xbu axxycxc1ca0t01n2ca03ca0000100基于倒立摆的现代控制模型建立及分析02000210101t
010000010000.
50000.510010002402000c ct011000能观标准Ⅱ型b t011b1100001a t01at
01004.进行非奇异变化,将原状态空间表达式化成
4.2xt02xbu axxycx1a301t020000a2a310a1ca302402a2ca224020a3ca010011000c011a t02at0200001000注释因为状态空间表达式能观标准20000cct010001Ⅰ型与能控标准Ⅱ型对偶,能观标准Ⅱ型分别与与能控标准Ⅰ型相对偶,依据对偶b t011b1024100原理,,,可以直接写出系统的能关标准型基于倒立摆的现代控制模型建立及分析a1a2t b1c2t c1b2t第五章倒立摆系统的稳定性与李亚普诺夫方法倒立摆系统是线性系统,系统的稳定性只取决于系统的结构和参数而与系统的初始条件及外界扰动无关李亚普诺夫第一法关于线性系统的稳定判据为线性定常系统(,,)a b c,平衡状态渐进稳定的充要条件是矩阵的所有特征值具有负实部ax bu倒立摆系统的特征方程,(),解得特征值为y cxxxe0a,,,故该系统的状态不是渐进稳定的i a022240系统输入输出传递函数为()(),传递函数的极点为
12034.
89944.899,,,并不是都位于平面的左半平s220w sc si a b4面,故该系统输出不是渐进稳定的s24s21s1s20s
34.899s
44.899s基于倒立摆的现代控制模型建立及分析第六章倒立摆系统的综合系统性能指标的确定本文中的倒立摆系统是四阶的高阶系统,忽略某些留数很小的或离虚轴很远的极点
6.1所对应的瞬态分量,可以用一个二阶的低阶系统来近似各瞬态响应分量衰竭快慢取决于对应的闭环极点距离平面虚轴的远近,其中最靠近虚轴的闭环极点对系统的瞬态响应起主导作用,称为闭环主导极点若其他非主导极点的实部比主导极点s的实部大倍以上,则主导极点对应的瞬态分量衰减到进入稳态(即或)所需要的调整时间比其他非主导极点所需时间慢倍以上5△=±2%配置二阶系统的性能指标,超调量,得出阻尼△=±5%5
[2]比时,对应于稳态允许误差范围,调整时间计算mp e12100%15%公式,算出无阻尼固有频率故二阶主导极点为
0.
272700.8△=±2%,,远离这两个主导极点配置系ts42s n
7.334rad/s统的另外两个极点,ns12n n1n22j
7.056系统极点配置s315s418由极点,,,,
6.2系统的期望特征多项式为()()()s122j
7.056s315s418()22f2n n34倒立摆系统的能控标准Ⅰ型为
4373455.
7882285514522.7600x001001000240000x b10基于倒立摆的现代控制模型建立及分析0113由于该系统完全能控,故可实现状态反馈配置极点,加入状态反馈矩阵y20010x,系统的闭环特征多项式为()()k k0k1k2k3()()()()f det[iabk]比较()和()的各项对应系数,可解得4k3324k22k1k0,,,,f f反变换到状态k
014522.76k12855k
2479.788k337k
14522.
762855479.78837x10k kt
01114522.
762855479.7883700000100状态观测器
00.
50000.
514522.
762855239.
89418.5全维状态观测器
6.3本文中倒立摆系统是完全能观的,可以构造状态观测器系统的能观Ⅱ型为
6.
3.101x0000100020000引入反馈阵,得到观测器特y0001x征多项式为x u0241100g g1g2g3g4t基于倒立摆的现代控制模型建立及分析()()g10010g2f det[i()a gc]det0124g3001g44g43比较()和()的各项对应系数,可解得24g32g2g1f fg
14522.
762855431.78837反变换到状态,tx024021452全2维.76观测器方68程45为0240202855516g t02g
0100431.
7884.229810003()
721.549ˆa gcxˆbu gyx
684505164.
229821.549000010020002410020002400)6845001516ˆxu(y
104.
22980221.5490倒立0摆系统的68全45维001516ˆˆxu状态观测器如图所示y y
104.
22980221.549降维观测器
6.
16.
3.201t0000100001100-基于倒立摆的现代控制模型建立及分析10t000110000100001015001a tat01001b tb01100010000100010000001000100200024000110000010000110200000240100100000000引入10得到观1测器0特征多1项式0为2020001000011000010001cct100()()000g g1g2tg3()f detia11ga21配置观测器极点为,,,期望的观测器g1det g2g3203g12242g2特征多项式为24g12g31=24-15-15-15()()比较()和()各相应项系数,得3f+1534526753375,,,即观测器为f fg145g
2349.5g
32227.5观测器方程为g
45349.
52227.5()()()()tˆ1a11ga12wˆ[a11ga12g a12ga22]y b1gb2uwˆ1wˆgyx204527201ˆ
1349.501wˆ17950基于倒立摆的现代控制模型建立及分析y0uw
2227.52401086302(,,)u ab cyˆy-68450++-516ˆ1xˆ1xˆ2x+++ˆ2xˆ3x-
24.2298++-图倒立摆系统的全维状态观测器
221.549ˆ3x24+++ˆ4xˆ4x整个状态量的估计值为
6.145ˆ1wˆ
349.5yx
2227.5x原系统的状态估计为ˆ145y wˆˆˆˆx1w gyw
2349.5y xˆ2基于倒立摆的现代控制模型建立及分析
227.5y x4x4w3y0ˆ1ˆtxx00001000系01统ˆ1降维45观y测器y如图1所w示ˆˆw45y0w
2349.5y1ˆ0wˆ
32227.5yw
2349.5y(,,)w0yˆ
32227.5y
6.2图倒立摆系统的u ab cyˆ4x90-4517950272045+++-
349.5+-2++
349.5ˆ1x-降维状态观测器
699108625.5++
2227.5++++-45++ˆ2x
2227.5++-+ˆ3x
44556.2利用状态观测器实现状态反馈根据全维观测器方程
6.4状态反馈阵68450516ˆx
4.
229821.549100200024006845001516ˆxu y
104.
22980221.549k
14522.76285523可以得出全维观测器闭环系统图如图所示
9.
89418.5基于倒立摆的现代控制模型建立及分析
6.3(,,)图闭环系统模拟结构图u abcy-68450+++++-516ˆ1xˆ1xˆ2xˆ2xˆ3x
4.2298+24+ˆ3x-2-基于倒立摆的现代控制模型建立及分析2+++
21.549ˆ4xˆ4x
6.3第七章倒立摆系统的最优控制方案及控制器设计针对第二章倒立摆系统的状态空间方程式,通过确定最优控制量()()的矩阵,使得闭环系统渐进稳定,同时使线性二次型最优控制指标(式u t kx)达到最小t k6-()()()()()式中,1()为维半正定的状态加权矩阵;()为维正定的控制加权矩阵;j1tft1tt[xq t x uqt u]dt x tf q0xtf6-112t202q1()为维半正定的终端加权矩阵()和()是用来衡量状态变t nn q2t rr量和输入向量的权重q0t nn q1t q2t针对倒立摆系统的平衡问题,可引入全状态反馈当给系统施加阶跃输入时,找出满足系统性能的反馈增益矩阵,使在其作用下将系统由初始状态驱动到零平横状态如果系统受到外界干扰而偏离零状态,施加最优控制使得系统回到零状态k附近并同时满足达到最小,其中由公式解得u()()()()()()()求解黎卡提j u6-2()矩阵方程(式)的就可获得的值以及最有反馈矩阵值即式u q21t btt ptxtktxt6-2riccati6-3p k6-()()当趋向无穷时,()4趋近于一个常值矩阵,,因此,上式给出的方程就简化为-pa-atp pbq-1btp-q6-3p21k r1btp6-4tf ptp t0riccatipa atpbr1btp q0基于倒立摆的现代控制模型建立及分析20参考文献刘豹,唐万生现代控制理论北京机械工业出版社,~吴振顺,张健成控制理论基础与应用哈尔滨哈尔滨工业大学出版社,~
[1]...
2009.
910.
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2007.
5963.21。