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大盈若冲其用无穷范文一()无穷小与无穷大及其比较无穷小与无穷大及其比较级同步训练题ch16§1-6
一、客观题a、若是无穷小,下面说法错误的是()是无穷小()是无穷小()-是无穷小()-是无穷小1x、下面命题中正确的是a x2b2x c x
0.0001d x()无穷大是一个非常大的数()有限个无穷大的和仍为无穷大()无界变量2必为无穷大()无穷大必是无界变量、时,是的a b c()高阶无穷小()同阶无穷小,但不等价()等价无穷小()低阶无穷小d3x→01—cos2x x
2、下列极限中,值为的是a b c d()41a limxsinx2()xb limx0sinx2()xc limxsinx2x()d limxsinx2x
二、计算下列极限2()()、、1cos2x x12x131lim2lim、x0x0xtanxx()3lim、ln12x tanx sinx4lim
三、设当,(),试确定及
四、设()x0x0arcsin3xsin4x,()x0x3x33x3~axk ak.xsinax x e e2,且当时()(),试求值cosx
五、当,讨论()()x0x~x a和()是否满足()()x0x12x
六、当时,设=(),()且1x1cosx x~x.x x01o1o lim x x0,求证1a lima.B级同步训练题x x1
一、客观题、在时,下面说法中错误的是1x→0()是无穷小()是无穷小()是无穷大()是无穷大1111a xsinx b xsinc sind、当时,()是的xxxx()高阶无穷小()同阶无穷小,但不等价()等价无穷小()低阶无穷小2x→01—cosx2sin2xa b c d、如果时,是比高阶的无穷小,则,,应满足113x2a b c(),,(),,为任意常数(),,为任意x1ax bx c常数(),,都可以是任意常数、时,与无穷小等价的是a a0b1c1b a0b1c c a0bc()d a bc4x11xa()()()1111x3b1x c1x2d1x
222、当时,在下列无穷小中与等价的是()()
二、计算下列极限5x0x a1cos2x bln x()2c x x()22d e ex x2()()()、、()()()ln1x214x412x
2.1lim2lim.22x2x02x11arcsin3x4x4esinx
14、、()()tanx2ex excosx()、计算极限)3lim4lim2x0x0x arctanx21cosx ln1x32x x1n1n.6limn x2n nn1x2
三、设,,确定及,使当时,ax22x1x k k a x~.、x
四、设(),(),求,,使时,lim5()()f x sinx2sin2x sin3x g x axn a n x0fx~g x1(),()(),问()为什么3
五、已知limu x limu x v x a0limv xx x0x x0
六、若,且,,则能否得出"及至少x x0有一limxnyn0xn0yn0limxn0limyn0nn式成立"的结论n
七、(),问当时,()是不是无穷大量
八、设当,(),(),(),()均为无穷小,f x xsinx x f x.且()();()(),如x x0x1x x1xx~1x x~1x limx x0(),存在()xa x试证明()1lim1xx x0()1()x()lim11x x x01x辅导与参考答案级同步训练题.
一、客观题a、()、()、()、()
二、计算下列极限1c2d3b4c、原式(利用等价无穷小关系,)2x22()()1lim221cos2x~x tanx~x()x0x x121x
131、原式lim2352lim),)(利用等价无穷小关系(x0x0xx2x112x~2x sin4x~4x ln x04x2()、原式1x x
2、原式tanx1cosx14=lim lim33x0x02xx(利用等价无穷小关系)3=limarcsinx~x113333()()()
三、解13x113x1x3x3xlim3lim lim333333x0xx0x3x0xx(),故(),即,为所求
四、解当,112x~2x3a2k3x0sinax2,~ax2ecosxe1cosx()1~e1cosx~e2原式x2,故limax22aex0e1a22
五、解当,()xe2x0x1cosx~1;()(),2()()x x12x1~3x,所以不等价lim x3x limxx016x02x1
六、证1lim1x x0lim1,由已知x x0,1,lim111x x0lim00x x0故+1lim1+1x x0lim lima1a1x x0x x011B级同步训练题
一、客观题、()、()、()、()、()
二、计算下列极限1c2a3c4c5a、当时,(),1x01x n()1~n xlim1x n1x0x()()n14x4112x21原式;()4422xx lim32x02212x
1、因为时,(),x所以,原式2u0ln1u~u arcsinu~ulim)()x2x2x23x2limx213x212(),xxcosxx、因为当,,而excosx ex1cosx13x0e1~x e e当,(),所以原式x0ex excosx~excosx x1cosx arctanx2~x2limex0xcosx()x1cosx122x x,()
12、因为当时,x ln1x2~x224x0e,sinx()()-1~sinx1cosx~sinx4tanx2原式lim22x0xx
22、因为时,(),所以原式m()()5u01u~mu lim122x1x2x21312()()x222x1x21lim limx2x2x2x2()()1122x x2121lim limx2x2236x2x2n1n、解则n1n2n()16arctan arctan~n1n2n n1nn11故原式nn1()lim n2n1()1
三、解()n2n n12x x2x1()()2x2x x122x2x22x4x12x x2x122x x2x1()
(2)x x2x1x2由2x x12xxlim3xxlim()
(2)2x x2x1x2,所以取,2x x114a14k32
四、解()而()()sinx sin3x2sin2x2sin2xcosx2sin2x2sin2x1cosxlimf x2sin2x1cosx2x x2,x0x3limx0x3limx0x32所以取,a2n
五、解(),因为(()())
3.limv x0limv v x u x x x xx lim()x0x xu x()(),()lim1x vx u x0x0u xlim()()()1x xux limx xv x ux0a0
六、答不一定,00,当;例k n2k1x1,当,,当;n14k2n2k.y2n2k1,当n4k显然,,且k n2k.,但xn0yn0limn,xnyn0limn xn0limn
七、答当,()不是无穷大量,,yn0x f x x0n x,取(),故当时,()不是无穷大左式x1n xf x1n sinn0m x f xlim1()
八、证()1x()x()x()()x,x x1x limx x1x右式()()(())ea()()11lim11x x x1x)x x(()()()x x1x limx x11x1x1x e左式原文地址1a1无穷小与无穷大及其比较ea http//fanwen.wenku
1.com/article/
42822032.html§1-6级同步训练题
一、客观题a、若是无穷小,下面说法错误的是()是无穷小()是无穷小()-是无穷小()-是无穷小1x、下面命题中正确的是a x2b2x cx
0.0001d x()无穷大是一个非常大的数()有限个无穷大的和仍为无穷大()无界变量2必为无穷大()无穷大必是无界变量、时,是的a bc()高阶无穷小()同阶无穷小,但不等价()等价无穷小()低阶无穷小d3x→01—cos2x x
2、下列极限中,值为的是a bc d()41a limxsinx2()xb limx0sinx2()xc limxsinx2x()d limxsinx2x
二、计算下列极限2()()、、1cos2x x12x131lim2lim、x0x0xtanxx()3lim、ln12x tanxsinx4limx0x0arcsin3xsin4x
三、设当,(),试确定及
四、设(),()x0x3x33x3~axk ak.xsinax x e e2,且当时()(),试求值cosx
五、当,讨论()()x0x~x a和()是否满足()()x0x12x
六、当时,设=(),()且1x1cosx x~x.x x01o1o lim x x0,求证1a lima.B级同步训练题x x1
一、客观题、在时,下面说法中错误的是1x→0()是无穷小()是无穷小()是无穷大()是无穷大1111a xsinx b xsinc sind、当时,()是的xxxx()高阶无穷小()同阶无穷小,但不等价()等价无穷小()低阶无穷小2x→01—cosx2sin2xa bc d、如果时,是比高阶的无穷小,则,,应满足113x2a bc(),,(),,为任意常数(),,为任意x1ax bxc常数(),,都可以是任意常数、时,与无穷小等价的是a a0b1c1b a0b1c ca0bc()d a bc4x11xa111()()()1x3b1xc1x2d1x
222、当时,在下列无穷小中与等价的是()()
二、计算下列极限5x0x a1cos2x bln x()2cx x()22d eex x()()()
2、、()()()ln1x214x412x
2.1lim2lim.22x2x02x11arcsin3x4x4esinx
14、、()()tanx2ex excosx()、计算极限)3lim4lim2x0x0x arctanx21cosx ln1x32x x1n1n.6limn x2n nn1x2
三、设,,确定及,使当时,ax22x1x kk a x~.、x
四、设(),(),求,,使时,lim5()()f xsinx2sin2xsin3x g x axn a n x0fx~g x1(),()(),问()为什么3limu xlimu xvx a0limv x
五、已知x x0x x0
六、若,且,,则能否得出"及至少x x0有一limxnyn0xn0yn0limxn0limyn0nn式成立"的结论n
七、(),问当时,()是不是无穷大量
八、设当,(),(),(),()均为无穷小,f x xsinx x f x.且()();()(),如x x0x1x x1xx~1x x~1xlim()x x0,存在()xa x试证明()1lim1xx x0()1()x()lim11x x x01x辅导与参考答案级同步训练题.
一、客观题a、()、()、()、()1c2d3b4c
二、计算下列极限、原式(利用等价无穷小关系,)2x22()()1lim221cos2x~x tanx~x()x0x x121x
131、原式lim2352lim),)(利用等价无穷小关系(x0x0xx2x112x~2xsin4x~4x ln x04x2()、原式1x x
2、原式tanx1cosx14=lim lim33x0x02xx(利用等价无穷小关系)3=limarcsinx~x11()()()3333
三、解13x113x1x3x3xlim3lim lim333333x0xx0x3x0xx(),故(),即,为所求
四、解当,112x~2x3a2k3x0sinax2,~ax2ecosxe1cosx()1~e1cosx~e2原式x2,故limax22aex0e1a22
五、解当,()xe2x0x1cosx~1;()(),2()()x x12x1~3x,所以不等价lim x3x limxx016x02x1
六、证1lim1x x0lim1,由已知x x0,1,lim111x x0lim00x x0故+1lim1+1x x0lim lima1a1x x0x x011B级同步训练题
一、客观题、()、()、()、()、()
二、计算下列极限1c2a3c4c5a、当时,(),1x01x n()1~n xlim1x n1x0x()()n14x4112x21原式;()4422xxlim32x02212x
1、因为时,(),x所以,原式2u0ln1u~u arcsinu~ulim)()x2x2x23x2limx213x212(),xxcosxx、因为当,,而excosx ex1cosx13x0e1~xee当,(),所以原式x0ex excosx~excosx x1cosx arctanx2~x2limex0xcosx()x1cosx122x x,()
12、因为当时,x ln1x2~x224x0e,sinx()()-1~sinx1cosx~原式sinx4tanx2lim22x0xx
22、因为时,(),所以原式m()()5u01u~mu lim122x1x2x21312()()x222x1x21lim limx2x2x2x2()()1122x x2121lim limx2x2236x2x2n1n、解则n1n2n()16arctan arctan~n1n2n n1nn11故原式nn1()lim n2n1()1
三、解()n2n n12x x2x1()()2x2x x122x2x22x4x12x x2x122x x2x1()
(2)x x2x1x2由2x x12xxlim3xxlim()
(2)2x x2x1x2,所以取,2x x114a14k32
四、解()而()()sinx sin3x2sin2x2sin2xcosx2sin2x2sin2x1cosxlimf x2sin2x1cosx2x x2,x0x3limx0x3limx0x所以取,32a2n
五、解(),因为(()())
3.limv x0limv vx ux x x xxlim()x0x xux()(),()lim1xvxux0x0u xlim()()()1x xux limx xv xux0a0
六、答不一定,00,当;例k n2k1x1,当,,当;n14k2n2k.y2n2k1,当n4k显然,,且k n2k.,但xn0yn0limn,xnyn0limn xn0limn
七、答当,()不是无穷大量,,yn0x f x x0nx,取(),故当时,()不是无穷大左式x1nx()f x1n sinn0mx f xlim1
八、证()1x()x()x()()x,x x1x limx x1x右式()()(())ea()()11lim11x x x1x)x x(()()()x x1x limx x11x1x1xe左式1a1ea范文二无穷小与无穷大无穷小与无穷大无穷小
1.4无穷小量的定义定义如果(或)时,函数()的极限为零,那么
1.
4.1把()叫做当(或)时的无穷小量,简称无穷小例如因为
1.x→x0x→∞f x(),所以函数是时的无穷小f x x→x0x→∞lim x10x-1x→1因为x1limx,所以函数是当时的无穷小110x→1因为xxlimx,所以函数是当-时的无穷小110x→∞x x,都是时12以零为极限的数列{},称为当时的无穷小,n n→∞n3的无穷小xn n→∞注⑴不能笼统的说某函数是无穷小,说一个函数()是无穷小,必须指明自变量的变化趋向f x⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小,因为这个常数在(或)时,极限仍为常数本身,并不是零x→x0x→∞⑶常数中只有零可以看作是无穷小,因为零在(或)时,极限是零无穷小的性质x→x0x→∞
2.在自变量的同一变化过程中,无穷小有以下性质⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小(无穷多个无穷小之和不一定是无穷小)⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小(常数与无穷小的乘积仍是无穷小)⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小例求
1.limxsinx解,是有界函数,而x∵sinx1limx1有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小0x∵∴limx=sinx函数极限与无穷小的关系0x定理具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之,如果函数可表示为
3.常数与无穷小之和,那么该常数就是该函数的极限无穷小的比较例当时,,,,,观察各极限
4.x→0x3x x2sinx xsin2都是无穷小1xlimx0比要快得多x20x23x3x与大致相同sinx1sinx x x比慢的多sinx1sinxsinx x22limxxx0xlimx0limx0limx0x2sin不存在不可比1极限不同,反映了无穷小趋于的速度是多样的1sin2limxxx0得到以下结论设和都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小0“”αβ⑵如果lim⑶如果lim⑷如果lim⑴如果lim=,则称是比高阶的无穷小=,则称是比低阶的无穷小=(),则称与是同阶的无穷小=,则称与是等价无穷小,记为~0βα∞βαkk≠0例比较当时,无穷小βα1βααβ
2.x→0与阶数的高低1解因为1x x21xlimx01()()()()1x11x1x x21122limlimlimx2x1x x1x1xx0x0x0~11x x2所以1x例当时,无穷小-与是否同阶,是否等价解
3.x→11x1-x3lim x11x1x1()()2故同阶但不等价1x3lim1x1x x3x1常用的等价无穷小当时,~;~;~;~;~x→0sinx x arcsinx xtanx x arctanx x1-cosx,()~~;()~12x ln1+x x;ex-1x1+x a1-ax2无穷大无穷大量的定义
1.
4.2如果当(或)时,函数()的绝对值无限增大,那么函数()叫
1.做当(或)时的无穷大量,简称无穷大x→x0x→∞f x f x注⑴说一个函数是无穷大,必须指明自变量的变化趋向如函数x→x0x→∞是当时1的无穷大,当时,它就不是无穷大,而是无穷小了x→0x⑵不要把绝对值很大的常数说成是无穷大,因为常数在(或)时极限x→∞为常数本身,并不是无穷大x→x0x→∞无穷小与无穷大的关系定理在自变量的同一变化过程中,若()为无穷大,则
2.f x为无穷小;反之,若()1()为无穷小,且(),则f xf x f x≠0为无穷大()1例求f x
4.limx12x3解当时,分母,因此不能直接使用商的极限法则,但()的x25x4倒数的极限x→1x-5x+4→0f x2lim x11x25x4()由无穷大与无穷小的关系可得lim0f x2x3x1lim()x1函数的连续性f x函数连续性的概念
1.5函数的增量
1.
5.1定义在函数()中,当由(初值)变化到(终值)时,终值与初值
1.之差叫做自变量的增量(或改变量),记为y=f x x x0x1相应的,函数终值()与初值()之差,叫做函数的增量注意增量x1-x0Δx=x1-x
0.可正、可负;增量可正、可负或为零f x f x0ΔyΔx函数()在的连续性先观察两个函数的图像的特点Δy当时,当时,不趋向于零
2.y=f x x0定义设函数()在点及其近旁有定义,如果当自变量在点处的增Δx→0Δy→0Δx→0Δy量趋近于零时,函数()相应的增量()()也趋近y=f x x0x x0于零,那么就叫做函数()在点连续用极限表示,就是Δx y=f xy f x0x f x0y=f x x0lim y0或x00(lim f x)()x0定义设函数()在点及其左右近旁有定义,如果函数()当x f x00时的极限存在,且等于它在处的函数值(),即2y=f x x0y=f xx1→x0x0f x0lim()()x x0f x f x0那么就称函数()在点处连续函数()在点处连续必须满足三个条件⑴函数()在点及其左右近f xx0旁有定义;⑵⑶f xx0f xx0lim()存在;()()xx0f xf xf x0lim,xx0例试证函数(),,在=处连续x0xsin1x5f x0x0x0证明函数()在=及其左右近旁有定义f xx0∵limx0xsin()()()1函数()在=处连续0f0=0limf xf0xx0函数()在区间(,)内的连续∴f xx0设函数()在区间(,内有定义,如果左极限即
3.y=f xa bf xa b]limx b()存在且等于(),f xf blimx b()=(),就说函数()在点左连续设函数()在区间,)内有定义,如果左极限即f xf b f x bf x[a blimxa()存在且等于(),f xf alimxa()=(),就说函数()在点右连续定理函数()在点处连续()在点处既左连续又右连续f xf a f xa()()()f xx0f xx0在区间(,)内任一点都连续的函数叫做在该区间内的连续函数,区间(,f x0f x0f x0)叫a b ab做函数的连续区间连续函数的图像是一条连续不断的曲线复合函数的连续性设函数()在点处连续,函数()在点处连续,且
4.(),则复合函数在点处连续,即y fu u0uxx0u0x0y f xx0limxx0f xf x0f lim xx0x例求6limx0loga1x=xloga1x logae解原式=1xlimx0lne1可以推出当时,~函数的间断点lnalnax0loga1x
1.
5.2函数()在点连续必须满足三个条件,如果这三个条件有一个不满足,则称xlna()在点不连续(或间断),并称点为()的不连续点或者间断点f xx0间断点的分类第一类间断点⑴意义f xx0x0f x⑵fx0,但,或者无fx0f xf xf xf xf xf x不是第一类间断点的其他间断点都称为第二类间断点0闭区间上连续函数的性质性质闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值注意⑴若区间是开区间,
1.
5.3定理不一定成立1⑵若区间内有间断点,定理不一定成立推论在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界性质如果函数()在,上连续,且()<,那么至少存在一2f xa b f af b0点(,),使得对于方程()=,若满足性质中的条件,则方程在(,)内至少存在一个ξ∈a bf0实根,又称为函数()的零点f x02a b例证明方程在区间(,)内至少有一个根证明设()=ξξf x,()在,上是连续的,又因为7x4x1001f xx4x1f x01323()=>()=-<2根据性质,至少存在一点(,),使即f010f120从而证得方程在区间(,)内至少有一个根2ξ∈01f0410判断命题是否正确如果函数()在,上有定义,在(,)内连续,x4x1001且f xa ba b32()<,那么()在(,)内必有零点32解答不正确例如函数f af b0f xa b,(),e f x20x1x0()在(,)内连续,()()=-<,但()在(,)内无零点f x01f0·f12e0f x01范文三负无穷到正无穷负无穷到正无穷作文网专稿未经允许不得转载渔夫为了追求珍珠的完美而努力剔除上面的黑点,最终虽除去黑点却也失掉了原本的宝贵,因小失大,得不偿失完美,就如同数学中的负无穷和正无穷,意识中感觉它的存在,但追求中却永远也没有尽头所以,完美当只能是一种生活的态度,而不应当是目标以追求完美的态度面对人生,可以引导我们不断积极进取,完善自我这样,你也就在那完美的数轴上逐渐趋于无穷的顶端然而,若把完美当作目标,当作努力的最终产物,那就必将沉沦于以虚幻的完美为终点的无底洞,那伴随的是永恒的阴暗和潮湿,你将感觉不到生活的美好和乐趣,在劳累中难以奢求一丝的轻松和快乐以不存在的目标为目标,终将迷失方向,那样的人生太不实际,也缺失意义数代风骚人物和杰出伟人,他们的事迹流芳百世,我们说他们的人生是有价值的,是精彩的,是美丽的,但却不可能是完美的所以,有价值而美丽的人生与完美将不在天平的两侧出现,而我们当追求的也应是前者把人生的目标定得过高会趋向于虚无,最终只会两败俱伤,玉石俱焚遗憾本就是生活的附属品,生活因缺憾而真实但这不意味我们要安于现状,享受颓废,每个人都应当以追求更好为态度,克服自身的弱点,登着通往正无穷的台阶,每一步都是进步的见证,每一步都是更美的象征以适当的目标让自己进步,这样的人生才能充实,才能富有意义,才能有存在的价值以完美的态度生活,追逐崇高的正无穷,在生命的轨道上不断朝进步的方向奔跑我们不能构造完美的人生,但可以努力使美丽与有价值的人生趋近于完美生命与瑕疵就如同渔夫那颗珍珠与黑点,它们是共生共存的,用另一种方式看待那污点,你会发现,那也许就是美的所在追逐正无穷达濠华侨中学高三朱明君点评教师师蕾铭老师范文四负无穷到正无穷作文库()网专稿未经允许不得转载渔夫为了追求珍珠的完美而努力剔除上面的黑点,最终虽除去黑点却也失掉了原本zuowenku.net的宝贵,因小失大,得不偿失完美,就如同数学中的负无穷和正无穷,意识中感觉它的存在,但追求中却永远也没有尽头所以,完美当只能是一种生活的态度,而不应当是目标以追求完美的态度面对人生,可以引导我们不断积极进取,完善自我这样,你也就在那完美“”的数轴上逐渐趋于无穷的顶端然而,若把完美当作目标,当作努力的最终产物,那就必将沉沦于以虚幻的完美为终点的无底洞,那伴随的是永恒的阴暗和潮湿,你将感觉不到生活的美好和乐趣,在劳累中难以奢求一丝的轻松和快乐以不存在的目标为目标,终将迷失方向,那样的人生太不实际,也缺失意义数代风骚人物和杰出伟人,他们的事迹流芳百世,我们说他们的人生是有价值的,是精彩的,是美丽的,但却不可能是完美的所以,有价值而美丽的人生与完美将不在天平的两侧出现,而我们当追求的也应是前者把人生的目标定得过高会趋向于虚无,最终只会两败俱伤,玉石俱焚遗憾本就是生活的附属品,生活因缺憾而真实但这不意味我们要安于现状,享受颓废,每个人都应当以追求更好为态度,克服自身的弱点,登着通往正无穷的台阶,每一步都是进步的见证,每一步都是更美的象征以适当的目标让自己进步,这样的人生才能充实,才能富有意义,才能有存在的价值“”以完美的态度生活,追逐崇高的正无穷,在生命的轨道上不断朝进步的方向奔跑我们不能构造完美的人生,但可以努力使美丽与有价值的人生趋近于完美“”生命与瑕疵就如同渔夫那颗珍珠与黑点,它们是共生共存的,用另一种方式看待那污点,你会发现,那也许就是美的所在追逐正无穷达濠华侨中学高三朱明君“”……点评教师师蕾铭老师范文五无穷小与无穷大第章极限与连续需学时授课课题无穷小与无穷大学时授课时间年月日星期第节
一、教学目的要求2122§
2.
1、无穷小与无穷大、无穷小的比较、几个常用的等价无穷小、应用等价无穷小求极限12
二、教学重点掌握无穷小的性质与比较用等价无穷34小求极限
三、教学难点掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限
四、课型新授课
五、教学方法讲授组织教学清点人数复习旧课函数的极限教学设计在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础
1.上,重点掌握用等价无穷小求极限教学内容及步骤无穷大与无穷小前面我们研究了数列的极限、函数的极限、函数的极限、函数的极n xn限、函数的极限、函数的极限、xf xxf xxf xx x0f xxx0f x函数的极限,xx0f x这七种趋近方式下面我们用*表示上述七种的某一种趋近方式,即x*nxxxxx0xx0xx0定义当在给定的*下,以零为极限,则称是*下的无穷小量,即*1xfx定义当在给定的*下,无限增大,则称是*下limf x0fxx x的无穷大量,记作*fx2xfxfx xlimx都是无穷大量,显然,时,、、、23n n n n、、、、都是无穷小时,22量x0xxxxsinx tanx注无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势,因此任何常量都不是无穷大量,任何非零常量都不是无穷小,谈及无穷大量、无穷小量之时,首先应给出自变量的变化趋势关于无穷大、无穷小有如下一些结论定理在自变量的同一变化过程(或)中,具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之,如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数1xx0x就是这函数的极限定理在自变量的同一变化过程中,如果为无2fx穷大,则为无穷小;反之,如果为无穷小,且1fx fx,则为无穷大1在这里应该注意fx0fx()无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量()无穷多个无穷小量之积也lim fx g xab limf x limg x不一定是无穷小量例12如,当时,是无穷小,个这种无穷小之和的极限1定理有限个无穷小的和也是无穷小n n2n定理有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论常数与无穷小的乘积是无穷3小推论有限个无穷小的乘积也是无穷小41,则定理如果,2存在,且limgxb5limf xa显然为lim fx gx()无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量例如,23112当时,是无穷大量,是有界量,显然n0233n n n n()*下,,其极限*未必大于limf x例如,4xfx0x0,,x2x0fx8x0显然,但()无穷多个无穷小量之积也未必是无穷小量limf x0fx0x05小结本节给出了无穷小量和无穷大量的概念和它们的相关性质,注意不要错误的利用这些性质启发与讨论(limx02e1x2x、求极限分析含有绝对值符号,必须去掉绝对值,要考虑从左、右极限入手1e1)xx(x0lim2e1e1x2x解1x2x)()x2ex3eelim lim122x0xx0x)()1ex1ex==x2ex1eelim lim122x0xx0x1ex1ex==1x2x1x1x2x1x所以原极限1e、=12当(x0lim2e时,x是y xsxi)无穷小)无穷大)有界函数)无界的但不是无穷大n(,,)分析取,则,此时abc d取limyn0x2n n123y0nnn nxn2n(,,)2,则n123yn2n,此时2limyn答案课内练习dex cosx、求极限;limx1x0解原极限ex cosxex11cosxlim lim lim1x0x0xxx=x013sinx x2cos、求()()lim分析型,拆项解原极限2x01cosx ln1x“0”11223sinx xcos3sinxxcos内容小结limlim、无穷小与无穷大()()为无穷小()x02x2x3x02x=2==()()为无穷大()11fxlimf x
0、无穷小的比较设(),()2fxlimf x2limx0limx0()、若lim1()lim(),则称()是()的高阶无穷小x()、若0xxx()2(),则称()是()的低阶无穷小()x(),则称()是()的同阶无穷小xxx xcxxxlim()、若(,)
3、几个常用的等价无穷小当时,c0c3x0()~;()()~;()~x;1sinx x2ln1xx3e1()~;()~;()~x4tanx x5arctanx x6arcsinxxx2()~;()()~习题二71cosx281x1x填空题
1.是等价无穷小,则()设时,与2xasin221x01cosx()alim13x2x0()arctanxlim选择题x3x()时,为无穷小量,为无穷大量,则
2.1xafx gx必为无穷大量2sinx()()afxgxb1gxfx()()f xcfxgx d gx()当时,函数是()无穷大()无穷小()无界函数()有界函数2xfx xsinx(),则abc d()(),3(),()a ab1ba1b1ca1b1d ab11x21x1()当时,函数的极限e()等于()等于()为()不存在但不为x14x1计算下列各极限a2b0c d
3.()()sin5x2xln12x limlimx1x02sinx2x0e1()()ln1x2etanx exlimlimx0secx cosx34x0tanx x()()1cosaxlim25x0sinx6x2lim axb0xx11cos cosx设时,与为等价无穷小,求常数,之值b
4.x0ax tanxsinx abxxx求极限limcoscos2cosn答案
2225.n6()()()()()()()()()()()
1.142e
302.1a2c3c4d312()()()()()a()
223.12231415,641ab
324.x0limex2cosxxxcos2cosn222sinx2nsin,极限为xsinx2nx范文六无穷大与无穷小讨论通讯广州市华南师大南区第二信箱邮编
5.9-303科学史上那些千载难逢的重大革命发现造福全人类,但发现的方法、科研的思路是510631渔,远比发现本身更有价值思想方法上的革命能使人的科学洞察力一下子提高无穷大倍,从而获超凡越圣的革命发现扩充数域是数学发展史上的重大转折与飞“”跃有傻瓜相机也有傻瓜数学据语文常识,对数集的一切(个个)数都有明确表示必可的一切数,即的变域内必有数的一切数;“w n这表明形如()的任何元中的函数必可在的变域外取值的一yn”y w n y yw n切(任何)(内各元均由代表)负数有无穷多个,说中的可取一切y xx=d y x d yd负数显然就是说可一切负数;同理,说中的可取、、这个数就x dx yxx是说可这个数即必可在的变域外取值,说可一个不漏地遍取一切正yyn n1233整数就是说可一切正整数y3y n ny人类最早认识的数是非自然数,对这类数的认识与研究已有几千年下式中的可由小到大取一切正整数吗这纯粹是一初数学问题0n(亿亿倍于),,,是说式中所取各数,,n3y=y1+y2=n+100…0n,相比下全都是可忽略不计的极小正数,即说首项动点与动点相比实n≈0+100…0nn=123…n→∞12在是总距太近了以致于可视其为而忽略常识若一正数集内各元(相比3…y1→∞y2下)全都是的极小正整数,则必有的所有数,因为有小必有大然而几00b千年数学却一直断定式中可视其为的可取一切非自然数依据是几千年≈0nb n的公理任何自然数均有对应自然数()极浅显近似计算常识使0n≈00人一眼看出这是几千年重大错误此错误使康脱推出更重大错误说含一切自然数的a n kn k1各元可与其真子集各元一一对应注,公理中的与均是数学内的数注说恒取自然数的可变至总任给定正数就是间接肯定有自然数n n100…0na n kn失察此类数使数学自相矛盾这也就是说以上近似式中的可取一切非n“”m自然数可见,康脱理论实质上就是公理等公理,故其不仅是现代数学的基础,nm n0而且其核心部分也是古代数学的基础因为上式中的可式中数列内的一切,a所以说上式右端中的,,,可取一切正整数显然就是说式中可变至一yn切正整数,即说其变域内有正整数一切正整数几千年数学一直隐含此重n=123…y大病句这使康脱推出脱离健康的病上加病的极荒唐病态理论数学主要研究变y n——量研究变量都能取些什么数是最根本的问题,最根本的搞错了必然会全盘皆错注大小极悬殊的个正数,小的与大的相比是的近邻x蚂蚁身高甲人身高是因相比下实在是太小了,以至于可视20其为而忽略飞机上的人看摩天大楼如蚂蚁那么小表明若蚁与甲同时同步地无n+1000n≈0+1000n n穷变高(蚁增高倍的同时甲也增高倍),使由,则甲看蚁的身高没有0任何变化总是紧贴于地面的小不点,因被限制于一成不变地总为的n n n1→∞这表明变量与另一变量相比也可有相对不变是定量的另一面,正如地球n→∞1000n的同步卫星相对于地球是不动的一样这使式1/1000(由)s石破天惊地直接表达相比下总,根本不能任意变大然而身高n+1000n≈0+1000n n1→∞不变的乙人却看见蚁能任意变高,继而根据数学断定式中的可任意变大取一n→∞≈0切非自然数,将甲所看到的总贴近(相比下)斥之为缺乏起码数学常“”s n识,是骗子在搞伪科学关键式中的首项可视为定量,因其相比下是的近0“n0”邻,其变域内各数都有性质s00上述轴上的动点被限制于总远远地落在点的后面,使看总贴近n n于定点,能说可距任意远取一切正整数动点总近y y1→∞y2y2“”y1于动点;说两点间的距离可距任意远取一切正整数,就是说两点必有y=0y10y=y1+y2=n+100…0n变至使彼此相距极远从而远无近似相等关系的变化阶段这是常识性错误傻瓜物y2y-y2=n0理常识等常识表明乙人被表面假象所迷惑严重歪曲了事物的本来面目,而且还将重大发现斥为伪科学站在甲的肩膀上,乙人就能一眼看出自己是多么的幼稚可笑啊此时凭肉眼,近视的他永远也不能察觉任意变高的蚁的客观存在性将是否“”取得世人共识作为真理的标准是非常幼稚的科学革命的特征就是推翻举世公认的理论伟人甲的目光太远大超凡了,以致被迷信科学皇后的太渺小的权威斥为吹牛的骗子甲的视野可无穷大倍于乙的视野,使任何已知正数都不能定量描述甲“”“”的认识水平比乙的极低下认识水平高多少倍目光太短浅的肉眼数学对无穷的认识太幼稚片面,有极其重大的根本错误上述虽可变至总任给定正数,但近似常识表明此“”“”所取各数全都是可忽略不计的极小正数科学极不发达期地球的极伟大性掩y1“”m y1m盖了它的极渺小性,数学极不发达期的无穷变大性掩盖了其相比下总的y1m性质乙的井底蛙之见比甲的宇宙伟人超凡越圣之见落后几千年在居高临下的伟y1→∞≈0人甲眼中上述无穷大总微不足道当理论与实际严重对立时必表明理论有重大错误n科学的思维方法是能放大无穷大倍的思维显微镜、望远镜,能使人的认识能力由乙人的肉眼直观层次,一下子提高无穷大倍到甲的水平,从而能一眼看出上述蚁相比下总贴近于地面,即与另一变量相比总贴近于;能一眼看出相应的也有相比下总距极远的另一面,更谈不上能距任意近(同一线段,肉眼下短n→∞01/n→0至几乎为一点,显微(望远)镜下却很长)这必使数学及其教学能由因目光太00短浅而严重歪曲了事物的本来面目的几千年极幼稚阶段,一步登天地一下子突变到能正确反映现实世界、宇宙的空间形式与数量关系的成熟阶段问题是超越时代太远的太伟大的科学太易遭太渺小的科学警察诬蔑为危害太重大的伪科学啊特别是当太伟大科学家的出身太卑贱时更是如此当年的红军高贵权威剥夺天才军“”事家毛泽东的发言权,就是因为其是没上过一天军校的土包子,在军事科学领域“”“”是典型的从山沟沟里出来的民科“”美国著名数学史家克莱因教授很有代表性地断定实数系统已经用了五千多“”“”年,无数关于实数的理论均被证明,仍未发现任何矛盾实数公理产生了许多著名m·“定理,以上居高临下的科学思维方法表明这是当局者迷的重大误解肉眼下蛋壳天衣无缝,显微镜下却是漏洞…
[1]”“”百出的人类由断定任何自然数均有对应自然数到发现这是重大错误,竟须历时五千年但若担心初三生阅此文后还不能一眼看出式中相比下可视其为n1000n的绝对不可取一切自然数,那就是担心广大群众是弱智群体了思想方法上的s革命使人能一下子就打破五千年数学公理绝对不能被推翻的千年神话在高精度0n近似计算中凡有变量可略必表明其变域内个个数相比下全都“”说上述可任意变大取一切正整数等价于说其必能变大至不可忽略即不可视其≈0为的程度,然而人们在近似计算中却将其视为实际上就是纠正了这一重大错y1→∞误人们在近似推理>>(变域为)的过程中不自觉无00意识地否定了百年完备定理断定各元相比下均为可略的极小正数可x+10000x≈0+10000xxr+见,外实数一直都在数学中起关键作用人们言行不一,否则就要在中犯常识r r+x性错误啊这就是为什么纯数学大厦的根基是歪的,使其不堪一击,而数学却能在r…科学实践中发挥重大作用的奥秘在科学中起作用的是真正的数学而不是严重歪曲事物本来面目的伪数学能放大无穷大倍的思维显微镜、望远镜的发明使常人的科学洞察力一下子提高无穷大倍,从而能一眼看出前人几千年都不能发现的重大错误几千年举世公认的任何自然数,其实是病句有自然数任何自然数各已知正自然数任给定正数所以,所有已知组成的仅为数学内的自然n+1n=数宇宙中的一颗星球以球为宇是近于宇宙那么大的错误此重大错误没能及时发n“”m n n现必使人推出错上加错的一系列更重大错误论断,例如使康脱推翻科学常识部分“”数学革命的爆发必使数学发生翻天覆地的质变全新的东方数学必是朴实的科学真理,从而易学易教将学生从沉重的学习负担中解放出来,特别是能终结旧理论使学习者养成盲从的陋习(注,不懂原理的文盲同样能舞枪弄炮)这一重大伤害进而必能缩短学制从而创造出巨大的经济效益设在数学研究中所需用到的一切组成,若各元均有对应数,则由上述傻瓜数学可知并非所有的都能还在内,有许多都更n ww n100…0nn无理地突破了的框框这类数是额外派生出来的数学无需用到的数学以外的另100…0n w100…0n“类数,因为事先已规定含数学内的一切有内必有外,数学外若还有自然”w数,则这类数不能与内的数混为一谈若将这类数纳入数学内,同样的原因又w n会额外派生出新的数学以外的数将两类性质不同的数混为一谈就要铸成大错详w论见说明本文实际上是文献[]的一小部分
[3]参考文献3克莱因著、李宏魁译数学确定性的丧失,长沙市湖南科技出版社,
[1]m·[m]同书,页
1999.4194-
195.黄小宁一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解年芝诺著名
[2]
[1]89世界难题,发明与创新增刊,
[3]2500黄小宁教科书有一系列不堪一击的极重大致命错误书上各取正数的无穷大[c]2006125均相比下定量,见中国学校教育研究数学计算机卷,北京中国民主法
[4]——制出版社,通讯广州市华南师大南区第二信箱邮编≈0··[c]科学史上那些千载难逢的重大革命发现造福全人类,但发现的方法、科研的思路是
2004.389-303510631渔,远比发现本身更有价值思想方法上的革命能使人的科学洞察力一下子提高无穷大倍,从而获超凡越圣的革命发现扩充数域是数学发展史上的重大转折与飞“”跃有傻瓜相机也有傻瓜数学据语文常识,对数集的一切(个个)数都有明确表示必可的一切数,即的变域内必有数的一切数;“w n这表明形如()的任何元中的函数必可在的变域外取值的一yn”y w n yyw n切(任何)(内各元均由代表)负数有无穷多个,说中的可取一切yxx=dyx dyd负数显然就是说可一切负数;同理,说中的可取、、这个数就xdx yxx是说可这个数即必可在的变域外取值,说可一个不漏地遍取一切正yyn n1233整数就是说可一切正整数y3y n n人类最早认识的数是非自然数,对这类数的认识与研究已有几千年下式中的y可由小到大取一切正整数吗这纯粹是一初数学问题0n(亿亿倍于),,,是说式中所取各数,,n3y=y1+y2=n+100…0n,相比下全都是可忽略不计的极小正数,即说首项动点与动点相比实n≈0+100…0nn=123…n→∞12在是总距太近了以致于可视其为而忽略常识若一正数集内各元(相比3…y1→∞y2下)全都是的极小正整数,则必有的所有数,因为有小必有大然而几00b千年数学却一直断定式中可视其为的可取一切非自然数依据是几千年≈0nb n的公理任何自然数均有对应自然数()极浅显近似计算常识使0n≈00人一眼看出这是几千年重大错误此错误使康脱推出更重大错误说含一切自然数的ankn k1各元可与其真子集各元一一对应注,公理中的与均是数学内的数注说恒取自然数的可变至总任给定正数就是间接肯定有自然数nn100…0nankn失察此类数使数学自相矛盾这也就是说以上近似式中的可取一切非n“”m自然数可见,康脱理论实质上就是公理等公理,故其不仅是现代数学的基础,nm n0而且其核心部分也是古代数学的基础因为上式中的可式中数列内的一切,a所以说上式右端中的,,,可取一切正整数显然就是说式中可变至一yn切正整数,即说其变域内有正整数一切正整数几千年数学一直隐含此重n=123…y大病句这使康脱推出脱离健康的病上加病的极荒唐病态理论数学主要研究变y n——量研究变量都能取些什么数是最根本的问题,最根本的搞错了必然会全盘皆错注大小极悬殊的个正数,小的与大的相比是的近邻x蚂蚁身高甲人身高是因相比下实在是太小了,以至于可视20其为而忽略飞机上的人看摩天大楼如蚂蚁那么小表明若蚁与甲同时同步地无n+1000n≈0+1000nn穷变高(蚁增高倍的同时甲也增高倍),使由,则甲看蚁的身高没有0任何变化总是紧贴于地面的小不点,因被限制于一成不变地总为的nnn1→∞这表明变量与另一变量相比也可有相对不变是定量的另一面,正如地球n→∞1000n的同步卫星相对于地球是不动的一样这使式1/1000(由)s石破天惊地直接表达相比下总,根本不能任意变大然而身高n+1000n≈0+1000nn1→∞不变的乙人却看见蚁能任意变高,继而根据数学断定式中的可任意变大取一n→∞≈0切非自然数,将甲所看到的总贴近(相比下)斥之为缺乏起码数学常“”s n识,是骗子在搞伪科学关键式中的首项可视为定量,因其相比下是的近0“n0”邻,其变域内各数都有性质s00nn上述轴上的动点被限制于总远远地落在点的后面,使看总贴近于定点,能说可距任意远取一切正整数动点总近yy1→∞y2y2“”y1于动点;说两点间的距离可距任意远取一切正整数,就是说两点必有y=0y10y=y1+y2=n+100…0n变至使彼此相距极远从而远无近似相等关系的变化阶段这是常识性错误傻瓜物y2y-y2=n0理常识等常识表明乙人被表面假象所迷惑严重歪曲了事物的本来面目,而且还将重大发现斥为伪科学站在甲的肩膀上,乙人就能一眼看出自己是多么的幼稚可笑啊此时凭肉眼,近视的他永远也不能察觉任意变高的蚁的客观存在性将是否取得世人共识作为真理的标准是非常幼稚的科学革命的特征就是推翻举世公认的“”理论伟人甲的目光太远大超凡了,以致被迷信科学皇后的太渺小的权威斥为吹牛的骗子甲的视野可无穷大倍于乙的视野,使任何已知正数都不能定量描述甲“”“”的认识水平比乙的极低下认识水平高多少倍目光太短浅的肉眼数学对无穷的认识太幼稚片面,有极其重大的根本错误上述虽可变至总任给定正数,但近似常识表明此“”“”所取各数全都是可忽略不计的极小正数科学极不发达期地球的极伟大性掩y1“”m y1m盖了它的极渺小性,数学极不发达期的无穷变大性掩盖了其相比下总的y1m性质乙的井底蛙之见比甲的宇宙伟人超凡越圣之见落后几千年在居高临下的伟y1→∞≈0人甲眼中上述无穷大总微不足道当理论与实际严重对立时必表明理论有重大错误n科学的思维方法是能放大无穷大倍的思维显微镜、望远镜,能使人的认识能力由乙人的肉眼直观层次,一下子提高无穷大倍到甲的水平,从而能一眼看出上述蚁相比下总贴近于地面,即与另一变量相比总贴近于;能一眼看出相应的也有相比下总距极远的另一面,更谈不上能距任意近(同一线段,肉眼下短n→∞01/n→0至几乎为一点,显微(望远)镜下却很长)这必使数学及其教学能由因目光太00短浅而严重歪曲了事物的本来面目的几千年极幼稚阶段,一步登天地一下子突变到能正确反映现实世界、宇宙的空间形式与数量关系的成熟阶段问题是超越时代太远的太伟大的科学太易遭太渺小的科学警察诬蔑为危害太重大的伪科学啊特别是当太伟大科学家的出身太卑贱时更是如此当年的红军高贵权威剥夺天才军“”事家毛泽东的发言权,就是因为其是没上过一天军校的土包子,在军事科学领域“”“”是典型的从山沟沟里出来的民科“”美国著名数学史家克莱因教授很有代表性地断定实数系统已经用了五千多“”“”年,无数关于实数的理论均被证明,仍未发现任何矛盾实数公理产生了许多著名m·“定理,以上居高临下的科学思维方法表明这是当局者迷的重大误解肉眼下蛋壳天衣无缝,显微镜下却是漏洞…
[1]”“”百出的人类由断定任何自然数均有对应自然数到发现这是重大错误,竟须历时五千年但若担心初三生阅此文后还不能一眼看出式中相比下可视其为n1000n的绝对不可取一切自然数,那就是担心广大群众是弱智群体了思想方法上的s革命使人能一下子就打破五千年数学公理绝对不能被推翻的千年神话在高精度0n近似计算中凡有变量可略必表明其变域内个个数相比下全都“”≈0说上述可任意变大取一切正整数等价于说其必能变大至不可忽略即不可视其为的程度,然而人们在近似计算中却将其视为实际上就是纠正了这一重大错y1→∞误人们在近似推理>>(变域为)的过程中不自觉无00意识地否定了百年完备定理断定各元相比下均为可略的极小正数可x+10000x≈0+10000xxr+见,外实数一直都在数学中起关键作用人们言行不一,否则就要在中犯常识r r+x性错误啊这就是为什么纯数学大厦的根基是歪的,使其不堪一击,而数学却能在r…科学实践中发挥重大作用的奥秘在科学中起作用的是真正的数学而不是严重歪曲事物本来面目的伪数学能放大无穷大倍的思维显微镜、望远镜的发明使常人的科学洞察力一下子提高无穷大倍,从而能一眼看出前人几千年都不能发现的重大错误几千年举世公认的任何自然数,其实是病句有自然数任何自然数各已知正自然数任给定正数所以,所有已知组成的仅为数学内的自然n+1n=数宇宙中的一颗星球以球为宇是近于宇宙那么大的错误此重大错误没能及时发n“”m nn现必使人推出错上加错的一系列更重大错误论断,例如使康脱推翻科学常识部分“”数学革命的爆发必使数学发生翻天覆地的质变全新的东方数学必是朴实的科学真理,从而易学易教将学生从沉重的学习负担中解放出来,特别是能终结旧理论使学习者养成盲从的陋习(注,不懂原理的文盲同样能舞枪弄炮)这一重大伤害进而必能缩短学制从而创造出巨大的经济效益设在数学研究中所需用到的一切组成,若各元均有对应数,则由上述傻瓜数学可知并非所有的都能还在内,有许多都更n wwn100…0nn无理地突破了的框框这类数是额外派生出来的数学无需用到的数学以外的另100…0n w100…0n“类数,因为事先已规定含数学内的一切有内必有外,数学外若还有自然”w数,则这类数不能与内的数混为一谈若将这类数纳入数学内,同样的原因又wn会额外派生出新的数学以外的数将两类性质不同的数混为一谈就要铸成大错详w论见说明本文实际上是文献[]的一小部分
[3]参考文献3克莱因著、李宏魁译数学确定性的丧失,长沙市湖南科技出版社,
[1]m·[m]同书,页
1999.4194-
195.黄小宁一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解年芝诺著名
[2]
[1]89世界难题,发明与创新增刊,
[3]2500[c]2006125黄小宁教科书有一系列不堪一击的极重大致命错误书上各取正数的无穷大均相比下定量,见中国学校教育研究数学计算机卷,北京中国民主法
[4]——制出版社,≈0··[c]范文七无穷小与无穷大无穷小与无穷大
2004.38考虑函数趋于极限的快慢程度()以为极限等价于()以零为极限,§
1.7故可归结为以为极限的变量趋于的速度fxbfxb
一、无穷小(量)00定义、(),则称()为当时的无穷小量,简称为无穷小1limf x=0fxx→a同样可定义,,,,时的无穷小量x→a如,故当时为无穷小量;(阅读详情x→+∞x→∞x→∞x→a x→a)、、等当limx=0x→0xxn∈http//www.wenku
1.com/news/086ac2df0d77f6b
4.html sinx1cosx x→0x→02+时都是无穷小2n+()(阅读详情)、()当时为xann∈http无穷小;//www.wenku
1.com/news/086ac2df0d77f6b
4.html+sin xax→a、当时为无穷小阅读详情sinx1+x→+∞n∈http//www.wenku
1.com/news/086ac2df0d77f6b
4.html注意无穷小量不是一个很小很小的数,而是一类特殊的函数,是以为极限的xxn变量无穷0小量一般需要指明趋向于什么才有意义故当时为无穷小量;但,故当例如,,xx→0sinx limsinx=1x→πlimsinx=0x→0x→π时不是无穷小由极限定义立刻可得sinx()()为时的无穷小th1limf x=bfxbx→a()(),其中()为时的无穷小x→a⑴两个(有限个)无穷小之和还是无穷小;fx=b+αxαxx→a⑵两个(有限个)无穷小之积仍为无穷小;⑶无穷小量乘有界量仍为无穷小量如th2limxsinx→a1=0x1y=xsin
二、无穷大(量)x在没有极限的一类函数(包括数列)中,如限接近某一定数,但却有明显的变化方向,即()它们不能无(),12n→∞x→0n2x{}随趋于而无限地增大,数列的通12x0n2x项也随的无限增大而无限增大,这类情形我们给出如下定义{}定义设函数()在()内有定义,如果对,,当,则称函n数()当时为无穷大量,简称无穷大这时常称当时,2fxu am0δ00mfxx→ax→ao()的极限为无穷大记作(),或()()fxlimf x=∞fx→∞x→ax。