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四阶幻方的规律范文一五阶幻方规律五阶幻方规律
一、什么叫幻方(通俗点说)把一些有规律的数填在纵横格数都相等的正方形图内,使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等这样的方阵图叫做幻方幻方又分为奇数阶幻方和偶数阶幻方奇数阶幻方是指横行、竖列都是单数(即、、、)的方阵图偶数阶幻方是指横行、竖列都是双数(即、、、)的方阵图357946
二、奇数阶幻方的填法810奇数阶幻方中最简便的一种就是三阶幻方,又称九宫图平常我们遇到这类题都是用分析、分组、尝试的方法推出,这种方法较麻烦,如果“”是五阶幻方、七阶幻方就更困难了有一种方法不仅能很快地填出三阶幻方,还能很快地填出五阶幻方、七阶幻方、九阶幻方那就是口诀法口诀“”坐边中间,斜着把数填;出边填对面,遇数往下旋;“1”出角仅一次,转回下格间注意()这里的,是指要填的这一列数中的第一个数()坐边中间,指第一个数要填在任何一边的正中间的空格里1“1”()从到时,必须先向边外斜(比如第一个数填在上边的正中间,填第二2“1”个数时,要向左上方或右上方斜),填后面的数时也要按照同样的方向斜312例如五阶幻方就是把-二十五个数字填入下面的图形中,使每一行、每一列、每条对角线上的五个数字和都相等原文地址125五阶幻方规律http
一、什么叫幻方//fanwen.wenku
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16847353.html(通俗点说)把一些有规律的数填在纵横格数都相等的正方形图内,使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等这样的方阵图叫做幻方幻方又分为奇数阶幻方和偶数阶幻方奇数阶幻方是指横行、竖列都是单数(即、、、)的方阵图偶数阶幻方是指横行、竖列都是双数(即、、、)的方阵图357946
二、奇数阶幻方的填法810奇数阶幻方中最简便的一种就是三阶幻方,又称九宫图平常我们遇到这类题都是用分析、分组、尝试的方法推出,这种方法较麻烦,如果“”是五阶幻方、七阶幻方就更困难了有一种方法不仅能很快地填出三阶幻方,还能很快地填出五阶幻方、七阶幻方、九阶幻方那就是口诀法口诀“”坐边中间,斜着把数填;出边填对面,遇数往下旋;“1”出角仅一次,转回下格间注意()这里的,是指要填的这一列数中的第一个数()坐边中间,指第一个数要填在任何一边的正中间的空格里1“1”()从到时,必须先向边外斜(比如第一个数填在上边的正中间,填第二2“1”个数时,要向左上方或右上方斜),填后面的数时也要按照同样的方向斜312例如五阶幻方就是把-二十五个数字填入下面的图形中,使每一行、每一列、每条对角线上的五个数字和都相等125范文二三阶幻方中的规律及证明三阶幻方中的一个规律及其证明三阶幻方就是在一个行列的九宫格中,横行、竖列及对角线的个数之和都相等,如图333三阶幻方中有一个规律线上的两个数之和的一半例如,上图中,右上角的等于第行第列的与第行第列的的和的一半“6”证明过程如下21“3”32“9”假设三阶幻方里所有数之和为,右上角的数为,与右上角的数不在同一横行、竖列及对角线上的两个数分别为、,其余个数之和为,于是,m ma b6n因为三阶幻方里每个横行、竖列及对角线的个数之和都相等,所以,m=n+m+a+b……
①3第行的三个数之和第列的三个数之和左下到右上的对角线上三个数之和这样的话,右上角的数在算式中出现了三次,而与右上角的数不在同一横m=1+3+行、竖列及对角线上的两个数、一次也没有出现,其余各数都出现了一次,即m mab由和可得m=n+3×m……
②化简后,(),结论得证
①②n+m+a+b=n+3×m范文三四阶幻方的解四阶幻方的解m=a+b÷2本文根据幻方的定义,建立了一个具有十六个未知数的非齐次线性方程组,求出了它的一般解结合幻方的特性给出了求解的一般方法论证了四阶幻方共有个形式解进而说明在变换.意义下解的唯一性.
16.都不等于x11x12x12x16x11x15x14x15x13x16x8x12x4x16我们考查关系式与,这两个关系式把十六个数分为两类,其中每一类的八个数又可
17.分为四对,且每对数的和皆相等,但是都不等于幻方常数分为两个数的和,这两个数并不相等的分法共有如下十六种
17.(,),(,),(,),(,),(,),(,),
34.;(,),(,),(,),(,),(,),(,),331322313304295286(,),(,),(,),(,)
2772682592410231122122113201419151816.因为,都不能分为互不相等的两个数的和,只能分为(,)一类,,只能分为(,)一类,只能分为(,),(,)两类,只能分为(,123124),(,)两类,只能分为(,),(,),(,)三类,只能分135142361为(,),(,),(,)三类,这八类都不能分为互不相等的八类,所52471625348以应该排除172635可以分为(,),(,),(,),(,),四对.可以分为(,),(,),(,),(,)四对虽然各自可以分为互2416815914101311不相等的四对,但是十六个数字中漏掉了和这两个数字,而,这两个数1091827364字两类中都有出现了重复,所以这种分法也应该排除51289可以分为(,),(,),(,)(,)(,)五对.可以分为(,),(,),(,),(,),(,)五对,尽管
231671581491310.1211每个数可以分为互不相等的五对,但是却不能从中选出彼此互不重复的四对,所以1110192837465这种分法也应该排除可以分为(,),(,),(,),(,),(,),五.对221661571481391210可以分为(,),(,),(,),(,),(,)五对,尽管每个数可以分为互不相等的五对,但是却不能从中选出彼此互不重复的四对,所12111102938475以这种分法也应该排除可以分为(,),(,),(,)(,)(,),(,.)六对
20164155146137.12811可以分为(,),(,),(,),(,),(,),(,9)六对,尽管每个数可以分为互不相等的六对,但是却不能从中选出彼此互不重14131122113104958复的四对,所以这种分法也应该排除6可以分为(,),(,,),(,),(,)可以分为.(,),(,),(,),(,)可以分为(,),(,251691510141113129),(,),(,)可以分为(,),(,),(,),817263542116515(,)可以分为(,),(,),(,),(,)可以分514713813121112103为(,),(,),(,),(,)可以分为(,),941916315412711815(,),(,),(,)可以分为(,),(,),(,1411321059618162),(,)1441261081615113311597(,)(,)(,)(,)这四种分法的每个数不仅可以分-4-为互不相等的四对,而且互不重复,又无遗漏,这四种分法正好与前面的八个关系259;2113;1915;1816式构成一一对应.利用这一对应关系便可以给出确定四阶幻方解的一般方法下面给出四阶幻方的一个解.不妨取定,,,,,,,,令.由,得,(因为)由,得,(因为)=9=25=13=21=15=19=16=18x11由,得,(因为)由,得,(因为x1x29x28=9x1x513x512=13)而由即得而由即得而x1x415x414=15x1x1316x1315由即得而由即得而由即=16=25x13x1425x1410=21x2x621x613得再由即得再由即得=21x9x1321x96=21x4x821x87=25此时还余下,,,四个数由即由即x3x425x311=9x7x89x72=9x9x109x10345916=25x11x1225=
21.x11考虑的分类中还余下(,)这一对,的分类中还余下(,)这一x1521对,所以从而2516921165这时断定x1116将确定的解排成方阵x129x155x164-5-经检验这个矩阵满足四阶幻方的定义三18111412132763169151054确定幻方解的个数.从确定幻方解的一般方法,我们进而可以确定幻方解的个数,,,,是从(,),(,),(,.),(,)中选取的四个数值,共有种选择它的x1x2x1x4x1x5x1x13259211319选择,具体讲可由的值所确定,例如取
15181624.我们考查所在的数对所属的分类在,,,的分对中所以,x1x1,,,取定,,,
1.
1.
19131516.x1x2这相当与四个元素的全排列它们的取法共有种x1x4x1x5x1x1391315对于每一种排列,按照
16..
4.
(二)中的方法便可确定幻方的一个解
(二)中的具体解便是所以四阶幻方的解共有个解..
2.
4384.四在变换意义下的唯一性4对于我们在
(二)中得到的那个解,矩阵转置后显然是解,交换第二行和第四行的位置后仍然是解,交换第一行和第三行的位置后仍然是.
1.解,将矩阵
2.x1xa5x9x13xa111x5x2x6x10x14x3x7x11x15x4x8x12x16x4x9a21xx813x10x11a22xx1415,则x12a11a ax1621a12a22为b2进行分块,记b1,x2x3定义若a12x6x7b1b32b称b2b1b4b2t为的正转置记为,即右上角与左下角交换称b3b4tb b.bb43的负转置记为,即右下角与左上角交换称b4b b.右下角与左上角都交换b
2.为的双转置记为,即右上角与左下角,b3tb bb1-6-,若a113a,若a21a114aa21a***t是解,则a12a11*a ta22a21t也是解a12也是解t a22t a21a22是解,则a12a11***a ta22a12a11是由aa21分块后,先将块当作元素进行正转置得a12a11**a a22a12,再将块,分a21别双转置而成,形象地说是将分块后,将块,绕矩阵的中心旋转而a21a12a22成a a12a21180可以将幻方的一个解,利用上述四个变换得到所有的个解,反过来利用上述.四个变换,可以将一个解变成我们所得到的那个解所以在变换意义下,我们说四384阶幻方的解是唯一的.本文得到王石瑚先生的指导,在此表示感谢.本文发表在洛阳师专学报(自然科学版)年第期
19892.范文四四阶幻方之王四阶幻方之王-7-人教版小学数学四年级下期第页,有这样一个数学游戏图中方格里的数排列是有规律的请把相加的和是的相邻的个数找出来,13再用彩笔圈出来看看你能找到几组3404108040这个幻方是根据下面的一个印度古老幻方,把所有的数都扩大倍改编而成的702090306010这个印度古老幻方非常奇妙,除了具有一般幻方的共同性质横行、竖行、对角线815496上四个数的和都相等,和都等于以外,还有许多特殊的性质,因此被称为四阶幻方之王34“这些特殊性质是”图中由个方格、个方格可以组成许多小正方形,还有那个由个方格组成的大正方形,这些正方形角上个数的和,也都等于;
①4916434第一行中间两个数与第四行中间两个数的和,第一列中间两个数与第四列中间两个数的和,也都等于
②不仅如此,如果把这个幻方任意向横竖两个方向复制,比如348815815449966上述所有性质还可以进一步扩展8815815444999666横行、竖行、线上任意连续四个数的和,都等于;任意由个方格、个方格、个方格组成的正方形,角上个数的和,都等
①45°34于;任意一行相邻两个数与隔两行对应的两个数的和,任意一列相邻两个数
②49164与隔两列对应的两个数的和,都等于34
③据说,这个幻方是已经发现的最古老的四阶幻方,刻在十一世纪印度卡瞿拉霍地方34的太苏神庙的石碑上印度人认为这个幻方是神明的启示,把它看作辟邪之物,做成护身符佩戴在身上显然,对于本题来说,只需把和换成就可以了不过,因为题目强调了相邻的个数,所以,最多只能圈出横行个解,竖行个解,对角线个解,由340“个方格组成的小正方形个解,一共个解4”442如果学生的热情很高,兴趣很浓,不妨讲一下上面的背景知识,肯定会收到很好的4919效果让学生玩玩这个游戏,不仅可以顺便练练口算加法,同时,还可以让学生感受一下四阶幻方之王的无比美妙,丰富一下知识,开阔一下视野,对于改变对数学的片面认识,提高学习数学的兴趣,都是有好处的这才是最重要的、更深层次“”的目的,一定不要轻易放过范文五三阶幻方四年级三阶幻方四年级
一、教学目标————、初步认识三阶幻方的起源和它的特征、会根据三阶幻方的特征填写幻方
1、学会自己构造一个三阶幻方
2、掌握并学会三阶幻方的另七个不同构造方法3
二、教学过程*4
(一)引入、介绍三阶幻方的起源传说在很久很久以前,洛阳的洛水一带浮出一只神龟,龟背上驮着一幅图这幅图1上都用圆点来表示一组数字,后来,经过人们研究发现图中用到这个数字组成一幅数字图,使它横的每行相加、竖的每列相加以及对角线相加,其和都等199于后来人们把龟背上的那幅称为洛书洛书就是我国最早的一个三阶幻方15“”“”、揭示课题三阶幻方的认识2
(二)新授——、前言三阶幻方是一个蕴涵无穷知识的数学习题,又称九宫格或九宫和阵今天我们1就来仔细认真地来研究它“”“”、介绍三阶幻方的特征()小组交流,从图中你可以发现哪些规律2()师生交流特征1幻和中间数2师幻和是指每行或每列三个数字的和=×3与中间数对应的上下、左右、或对角线的两个数字的和中间数角上的数字对角相邻的两个数字和=×2=()小结÷2师要掌握三阶幻方的相关知识,首先要了解它的三个特征
3、学习三阶幻方的填法()出示例题3师独立完成这道题目,看哪位同学能根据刚才所学的幻方的特征来填写完整这个11幻方()师生交流核对()练习2()核对交流,讨论填写的方法,运用了哪条特征运用了特征、3()出示例题4——1252师这道题目在原先的基础上变化了一下,你能补充完整吗学生独立完成,然后小组交流自己的想法()师生共同交流研究——运用了三阶幻方的第三个特征6()练习——()师生核对7()小结
8、用所给的数据构造一个三阶幻方9()出示例题4用构造一个三阶幻方13范文六四阶立体幻方四阶立体幻方1---9在长、宽、高均为格的立体表格中,填入数字~,使得无论横、竖、纵,每一行数字的和都相等4164具体步骤第一步按照从左到右,从上至下,从上层到下层的顺序填写自然数,,,第层12第层3641第层2第层3第二步将上面四层表格中的数字,按照下面的模版进行变换第层4第层1第层2第层3(其中空格表示不动,而代表中心对称交换)4最终得到“×”第层第层12第层第层3实际具体制表时,可以这样做4把第一步填好的自然数的表格按照对应的模版拆分成两副表格左边是空格位置的数字的正表格;右边是画位置的数字的副表格正副“”“×”“”1正1副2正2副3正3副4将每个副表格都旋转,得到负表格负4负“”180°“”1负2负3将负表格,,,的顺序调换为,,,初的正表格结合4的顺序,再与最“”1234432“”正1负1正4负2正3负3正2负41正与负结合为第层;正与负结合为第层;正与负结合为第层;正与负结合为第层;“1”“4”1“2”“3”2“3”“2”最终得到表格第层3“4”“1”4第层1第层2第层3无论横、竖、纵,每一行数字的和都等于4注其实模版还有另外一种第层130第层11第层2第层3如果有兴趣,可以试一试按这个模版制作一个立体表格4注格数是的倍数,例如立体表格,立体表格都可以用中心对称交换模版这一方法制作248×8×812×12×12注介绍模版“”对称交换模版3第层8×8×8第层1第层2第层3第层4第层5第层6第层四阶立体幻方7在长、宽、高均为格的立体表格中,填入数字~,使得无论横、竖、纵,每8一行数字的和都相等4164具体步骤第一步按照从左到右,从上至下,从上层到下层的顺序填写自然数,,,第层12第层3641第层2第层3第二步将上面四层表格中的数字,按照下面的模版进行变换第层4第层1第层2第层3(其中空格表示不动,而代表中心对称交换)4最终得到“×”第层第层1第层2第层3实际具体制表时,可以这样做4把第一步填好的自然数的表格按照对应的模版拆分成两副表格左边是空格位置的数字的正表格;右边是画位置的数字的副表格正副“”“×”“”1正1副2正2副3正3副4将每个副表格都旋转,得到负表格负4负“”180°“”12负负3将负表格,,,的顺序调换为,,,初的正表格结合4的顺序,再与最“”1234432“”正1负1正4负2正3负3正2负4正与负结合为第层;正与负结合为第层;正与负结合为1第层;正与负结合为第层;“1”“4”1“2”“3”2“3”“2”最终得到表格第层3“4”“1”4第层1第层2第层3无论横、竖、纵,每一行数字的和都等于4注其实模版还有另外一种第层130第层11第层2第层3如果有兴趣,可以试一试按这个模版制作一个立体表格4注格数是的倍数,例如立体表格,立体表格都可以用中心对称交换模版这一方法制作248×8×812×12×12注介绍模版“”3对称交换模版第层8×8×8第层1第层2第层3第层4第层5第层6第层7范文七四阶幻方的变换群第3卷第4期l82008年12月南京师大学报(自然科学版)JUNLOAJNOMANVRIY(auaSicdtnORAFNNIGNRLUIESTNtrcneEio)leiV013lNo4De20c,08四阶幻方的变换群..徐丹丹,张学斌(南京师范大学数学与计算机科学学院,江苏南京209)107[要]四阶幻方共有74摘00个不同的形式,8阶变换群的作用下便可得到80个基础形式在8证明了存在1个32阶变换群,将80个基础形式进一步分成20类并82.[关键词]四阶幻方,变换,变换群,翻转,旋转[中图分类号】079[15.2文献标识码】A[文章编号]016620)402-310-1(080-6.040TrnsomainopoaiursodrFoafrtoGrufMgcSqaefOreurXuDnaadn,ZhneiagXubn(colfteainoptcec,NnigNrlnvrt,ajg107,hn)ShohmtsadCmueSieajomaUisyNni09CiaoMacrnnein2AbtatIiwelnwhtteeae700dfrngcsursoresrctslontahrrieetmaiqaefodrk4f4wihhv8aiomsudrhhcae80bscfrneettnfraingop.orersotrufdr8Iipoehthrsatasoaingopore2,nnehc8aiamootsrvdtaeeinfrtrufdrt.rmoo3adudrwih80bscomaedvddit2lsefrScnbiieno20cassKersmaiqaefodrfu,tnfra.in,tnfraingop,rtfxo,rttywodgcsursoreorrsoamtorsmtruaooerlinoaeoe幻方在我国称为纵横图与龟背图,西方称之为魔方或幻方(gcSur)是由数12Maiqae,,,,列n排而成的n/方阵,阵中每1、1列以及两对角线上的/个数之和均相等,值(为…幻和Mai2方行每2其称gc×Sm)为nnu(+1/)2幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中,这说明我国人民早.在200年前就已经5知道幻方的排列规律国外直到公元10年,由希腊人AeadiTen1而3才lxnrho第次提到幻方a欧洲最早幻.方是11年德国画家Abrhue他著名铜版画Meecl上所画的4X4幻.方,54lectr在Dlnoia有趣的是,连创他作年代(5411)也镶嵌在这个方阵中,而且上下左右4个小方阵和皆为3,欧…洲最古老的幻方4是幻方有许多用途,别是计算机的发展赋予了它新的意义目前,特它在程序设计、.图论、工智能、合人组分析、实验设计(如正交设计)以至工艺美术方面都有广泛.应用文主要是探寻四阶幻方的变换群,本并对四阶幻方的80个基础形式进行分类8.1三阶幻方的分类.众所周知,三阶幻方共有下面8种不同形式438951276276672154839816357492945318收稿日期080620-31基金项目国家自然科学基金(0707资助项目7518)通讯联系人张学斌,博士,教授,研究方向组合与设计理论-..ahnxei@nndnEmizagubnjueucl..一...26徐丹丹,等四阶幻方的变换群—4923578l66l87532948341596722795436l8其中A,,可以由A经旋转9沿主对角线翻转数次得到A,AO或….定理1三阶幻方共有8种不同形式,8阶变换群下,1基本形式在有种2四阶幻方的8阶变换群.假设=(是一个四阶幻方,)S={iJi4,(,)114}四阶幻方中元素a位置是的集合¨≤≤≤≤定义1设是S上的一个一一变换,=(i)4任意一个四阶幻方,Aaj4是并设¨.6=口一)及=(,¨b若B总是一个四阶幻方,则称是一个四阶幻方变换,并记(A)=Ba14+a4l+a44.引理1a1+l.,,,=3a24,2,+a23+a32+a33=34.,.,证明根据四阶幻方定义可证得1一.定义2表示绕四阶方阵A=1以0的中心沿反时针旋转竽所作变换,则这个方阵的所有旋叶转都可以表成丁(i1,3,)的形式,即(,=(1)2),,(,)=(,,24i)(4(3i)丁iJ(4(31)2)i)以表示以主对角线为对称轴所作翻转变换,(,=(,)2即i)i引理2和7.是2个四阶幻方的变换I.证明设A=()是任一个四阶幻方,有a则.al1¨,a1za13,a41,口14az4.a43,a44口12.az2.a32,a42,013az3.a33,a43).al3,,=r)口12.az3.a33,a43az2.a32a42.,0144.4.a44ail.,az1a13,a41显然和是2个四阶幻方的变换.不难看出.引理3假设是由、丁生成的群么、那r有下面关系式2.r4=r=.e从而进一步有日为8阶群.下面结果来自于文献[]8.引理4不同形式的四阶幻方共有700个4引理5在变换群的作用下,四阶幻方有80个基本形式8.3四阶幻方的32阶变换群.再引进的两个一一变换和s上假设(,(1),1))(,i)(4(4,).引理6和是四阶幻方的2个变换,.证明设A=(i)是任一个四阶幻方,aJ则有27一—南京师大学报(自然科学版)第3卷第4期(08年)120a44,a42,a43,a41,a33,41.a32.,n242.a323.a33,眈1,1432,a44,a41,/422,)=4)=.al3,a3I,口I4口11.012.rl4上_.012口13.n】1.3.4眈12可见(A)和(A)皆为四阶幻方,因此引理6得证下面证明变换o,,和生成了3r7_2阶群定理2假设Ⅳ是由1、和生成的群,么有下面关系式7、".那.rO=-I,r==e,rO=+,+ro=,r=咖,咖从而进一步有Ⅳ为32阶群=,.=r咖证明由引理3=(,)={,,,,,,丁,丁}知HrO丁e丁.根据上面关系式直接证得咖=.u为32阶群,H、、咖两两不相交这就是说,=Ht且Ⅳ、NJ.ot..因此我们有定理3在变换群~作用下,四阶幻方分成20个不同形式的类2[考文献]参.[]GnrQaknuhRtosJjnafireMaeai,925219171ateB,ucebsDiifAnloDsetmts18,178rdscthc[]BnetWaetrnfraeaewrritgsJOt..—.sEpes19,147552ocleCvlasmbsdwtofgaie..[]pixrs,98219letorkodimalc李齐东旭广义Gary码及其在数字图像置乱中的作用[]J高校应用数学学—.报,0273620,13..5[]邹建成,国富,3.307.[]丁玮,4齐东旭数字图像变换及信息伪装技术[]J计算机学报,982888319,1934[]许芝卉用程序实现自然方阵构造奇数阶全对角线..幻方[]5J雁北师范学院学报,031l一820,926l[]徐承绪,—..6卢准炜全对角线幻方的存在性[]J南京师大学报自然科学版,04,7..42320235M]东南大学出版社,925-81956[]丁宗智..幻方[南京7[]张景中幻方及其他[北京8M]科学教育出版社,047.—..-52037...[责任编辑丁.蓉]一2一8范文八四阶幻方诗情幻方诗情诗歌使人巧慧,数学使人灵敏在艺术中,与数学最接近的就是诗歌了许多数学家认为,不能在心灵上作为一个诗人就不能成为一位数学家九宫图是一首迷人的诗,那么四阶幻方也是一首完美的诗,一首震憾人们心灵的诗四阶完美幻方共有三类它所具有的幻性是十分丰富的,其分布规律,其结构关系,表现出惊人的和谐对称性,及整齐一律的美,并蕴含深奥的哲理思想在我们的心灵中四阶完美幻方就是一首有严格韵律的四句诗,它激起了我们想象空间的升华,我们用它的数字结构进行诗歌艺术的创作,所创作成的每首诗歌,宛如新生的绿树,盛开着文学艺术和数学理趣的并蒂花
一、别离情四哥探望十四姐,七转石岭九道砭四哥探望十四姐,七转石岭九道砭十五月亮一夜圆,十二月逢六天面十五月亮一夜圆,十二月逢六天面十诉别情八回怨,十三云月三重天十诉别情八回怨,十三云月三重天五作别诗十一首,两地相望十六年五作别诗十一首,两地相望十六年注解此诗所用数字构成一个四阶完美幻方,其四行四列及八条泛对角线所含四数之和都等于而且每一正方形,每一等腰梯形(如,,,)每一平{}行四边形(如,,,)上的四个角,所含四数之和均为每一交叉十字34147103点上,画一个向四边沿伸使其各有两个数字,那么每组两数之差均相等,如41513234,这种性质称为河图特性“x”15-第一类四阶完美幻方图这首《别离情》诗,惟妙惟肖地描述了四哥与十四姐的8=9-2=11-4=13-6=741510514181171213296316别离后的思念之情他们每年只有六天见面时间,每逢一次总要穿山越岭,有一个6-1艰难的旅程离愁别恨,望着浓浓的云月,触发思念情绪,作诗感叹,就这样两地相望已十六年了此诗不仅能够将和谐美妙的数字巧妙地砌入诗中,而且又能真切地表达别离思情,为人们留下了文理共赏的绝妙好词
二、少年学艺六面围墙九米高,四季苦练十五招,六面围墙九米高,四季苦练十五招,三更始练十六套,五转飞空十分妙三更始练十六套,五转飞空十分妙十三少年两手高,十一寻师八方找,十三少年两手高,十一寻师八方找,十二学艺七师教,十四内藏一身宝十二学艺七师教,十四内藏一身宝注解此诗所用数字构成第二类四阶完美幻方,其性质与第一类相同这里描写了一个少年学艺的过程,他岁就八方云游寻找师父,岁就有七位老师给他教{}功夫,岁就有两手高招他每天三更开始苦练各种套路招式,一年四季,住在1112九13米高的围墙中天天如此,到岁已身藏绝技很了不起了此诗巧妙地将幻方中各数字,用作少年成长的过程一个志高的少年被表现的活灵活现,算是14一首千古绝唱的诗了11—14
三、山湖园林景色秀四方园林五桥连,十六叠峰九重天四方园林五桥连,十六叠峰九重天十五长廊十里街,三岸杨柳翠六砭十五长廊十里街,三岸杨柳翠六砭一湖山色八洞险,十三楼阁十二殿一湖山色八洞险,十三楼阁十二殿十四花坛十一色,二重观光时七月,十四花坛十一色,二重观光时七月,注解此诗所用数字构成第三类四阶完美幻方其性质也与第一类相同这首诗描写了一个山湖园林的景色重峦叠峰中,五桥连着四方的园林,街头长廊,杨柳{}翠砭,湖中山色映出八个险洞,十分壮观迷人,楼阁宫殿,花坛草坪,分布在湖岸边上,一个美妙秀丽的景色历历在目,时值七月,正是景色最秀丽的时候,这是作者第二次到这里观光了范文九剖析四阶幻方论文怡情智趣俱j鄙囊-i剖析圆阶幻方周士藩我们很多同学可能曾在小学的数学兴的一个四阶幻方图中每行、每列与两条对(3)每行、每列与两条对角线上四个数趣小组及初中的课本中,遇到过如图1所示的和都等于.角线上四个数的和都相等,这个相等的和是34.1128151467495分析与解(1)据题意,先设这个相等的和是S,于是两条对角线上(42一)8个数的和是2S,于是有等式善+思+体+乐×+想+维+操+学一2S,即(善+想+乐+学)4-(思十维+体+操)一2S1O11
①.1332l6又在图中第2,3两行上(42一)8个数的和也是2S,于是有等式(口+思+维+b)4-(d+操+体4-c)×一图1现在我们来探讨一般的四价幻方的性质,为此观察图1,可以发现如下两个有趣的事实一2S,即(口+b+c4-)4-(思+维+体+操)2S事实1四阶幻方中,四个角上的四个数的和是34;中间四个数的和也是34
②.式减去式,经移项整理得善+想+乐+学一口+64-c+d(2)再看.第1,4列上(42一)8个数求和,有等式
①②.(善+d4-d4-学)4-(想+b4-c4-乐)×一事实2第2,3两行(列)两端四个数的和也是34这两个事实,对一般的四阶幻方也有吗为此我们来解下面的.2S即(善+想+乐+学)4-(n+b+c4-)例1图2是一个四阶幻方,八个汉字一2S善想乐学思维体操代表八个数,而n,b,f,
③.d是已知数,那么(1)善+想+乐+学一“”式减去式,再经移项整理得思+维+体+操一a4-6+c+(3)将式代入式,经计算整理可得
①③.
④Sa+6+c4-d,故这个四阶幻方相等的和
④②是口4-6+C4-d—善.想口思维b操体C学图2由此得乐结论1任一四阶幻方中,四个角上的四个数的和及中间四个数的和都等于这个相等的和;并且它的第2,3行(列)上两端四(2)思+维+体+操一∞≯{Um}毖£y_}l£il娃£黼雄瓣萤敷怡情智趣俱乐郝个数的和也等于这个相等的和由结论1可以得.Ol3311n0r9bg8^结论2任一四阶幻方中,(1)对角线上两端两数的和等于另一条对角线上中间两数的和;(2)第2(3)行上两端两数的和等于第3(2)行上中间两数的和;(3)第2(3)列上e}15图3两端两数的和等于第3(2)列上中间两数的分析与解由结论2(4)可知;和;(4)第1(4)列上两端两数的和等于第4(1)列上中间两数的和;(5)第1(4)行上两端两数的和,等于第4(1)行上中问两数的和分析与解等式.1l4-cz一3+15,故n一7;由结论2(1)可知0+159+b,故b==6—由此,再从第2行可知这个四阶幻方的(r)由图2及结论1,有相等和是(11+5+6+8一)3O;于是C===30013314一3096312g===30————————善+思+体+乐一思+维+体—+操;1459=2;-厂一30一P一153012
①—————2151,同理g一10,h一4—想+维+操+学===思+维+体——.+操说明上述计算过程只须在图3七,用
②.只要熟悉在式中,消去两端思与体代表的心算直接计算并写出各所求的数上述结论1和2,非常容易求得各未知的数数,得善+乐一维+操;
①“”“”.在式中,消去两端维与操代表的又比如下面的.数,得想+学一思+体(2)由图2及结论1,有等式
②“”“”例3图4是一个四阶幻方,试求出八.个空格中各数一.口+思+维+6===思+维+体+操;+操+体+C一思+维+体+操
③思+维.l51311
④.——由式依次可得a+b一体+操;c+一
③④5395(3)将图2逆时针方向旋转9o,仍是四阶幻方,由(2)结论即得(3)图4.(4)由图2及结论1,有等式善+n+d+学一善+想十乐+学;想+b+c+乐===善+想+乐+学C一善+学
⑤解.
⑥.见图5先求得(一54-59一)一9(填在右上角方格内),于是,这个相等的和易求出其它各数.—一一15+13+119)是o这时由式分别可得n+-二想+乐;6+从第一行上知(—.
⑤⑥(5)同(3)理,由(4)结论可得(5)现在利用上述结论1及2,易解下列各例.霹曩例2图3是一个四阶幻方其中有八.,’.15131197531l39一ll一7l315个已知数,试求其它八个未知数——图5.86£列瓣'£燃娥“缸磁_怡情智趣俱乐郝…“鳓囊誊≯例说猜想与求证伍帆著名的英国物理学家牛顿曾有这样一部分,被减数的比减数的至少大1,并且被减句名言没有大胆的猜想,就做不出伟大的数的小数点后的数尽量小,取1,2,3,而减数发现历史的事实告诉我们在数学的发展的小数点后尽量大,取“9,8,7,于是可得如下.”史上,许多著名的数学难题都是在猜想的基两个算式础上发现的比如,费马大定理、哥德巴赫猜想及四色定理等等所以美国著名的数学教育家波利亚提倡从猜想中发现,在发现中猜想,这是培养我们创新思.“”“”“”.维的“”一囤田图图一团团圈团一0136,圈田图圈一固回图团一0】36.....个重要途径现在就用我们平时学到的知..注.这是一个最简单的合情合理的猜识,仅凭直觉出发,作出一些合情的猜想,介绍如下三例想,其中已隐含了常识性的证明但是下面两例就不同了例2任意一个凸四边形ABCD,如图..例1小涵是一个数学爱好者,他在1~9中任取8个不同的数字,分别填入下式8个方框内,使它们的差(大的数减去小的数)最小1,E,F,G,H分别是各边中点,那么,两块有.阴影部分的面积和是四边形ABCD面积的几分之几口口口口一口口口口分析与解..猜想与求证条件中讲的任意一个凸凭直觉,要使差最小,就希四边形,当然它也包括正方形在内,现在单望被减数尽量小,而减数尽量大,注意到题凭直觉如果图1中四边形ABCD是正方意,被减数比减数小,所以两个小数的整数形,那么图中,两块有阴影部分的面积必是例4图5是一个四阶幻方,其中,6,解利用结论2及四阶幻方的定义,可C,d,P,f,g,h为已知数,试求出八个空格中得图6各数.n6.CnP+hd6——g+h~6Ci-Pgg+ff+一厂j—ggCn4-hda+f+6一—P一64-dgag一{{—^图5图6勰I黔、掰z£掰V掰瓣87范文十幻方填入规律是它的阶数,比如上面的幻方是阶()为幻方的变幻常数数学上已经证明,对于,阶幻方都存在目前填写幻方的n3n/2*n*n+1方法,是把幻方分成了三类,每类又有各种各样的填写方法这里对于这三类幻n2n方,仅举出一种方便手工填写的方法、奇数阶幻方为奇数(,,,,)(,,,,,)奇数阶幻1方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)填写方法是这样把(或n n=357911……n=2*k+1k=12345……最小的数)放在第一行正中;按以下规律排列剩下的个数()、每一个1数放在前一个数的右上一格;()、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么n*n-11就把它放在底行,仍然要放在右一列;()、如果这个数所要放的格已经超出了23最右列那么就把它放在最左列,仍然要放在上一行;()、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列,那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格4内;()、如果这个数所要放的格已经有数填入,处理方法同()这种写法总是先向右上的方向,象是在爬楼梯
54、双偶阶幻方“”方阵21234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556()每个小方阵对角线上的数字,换成和它互补的数5758596061626364单偶阶幻方2为偶数,且不能被整除(,,,,)(,,,,,)这是三种里面最复杂的幻方n4n=610141822……n=4k+2k=12以为例这时,()把方阵分为,,,四个象限,这样每一个象345……限肯定是奇数阶用楼梯法,依次在象限,象限,象限,象限按奇数阶幻n=10k=21ab c d方的填法填数a dbc()将这些格,和象限相对位置上的数,互换位置3c929918156774515865988071416735557646646889522545663707285871921360626971538693252961687552591724768390424926334023582899148303239417981132097293138454710129496783537444628()在象限任一行的中间格,自右向左,标出列(注阶幻方由于111810077843643502734,所以不用再作、象限的数据交换)4b k-16k-1=0b d()将象限标出的这些数,和象限相对位置上的数进行交换,就形成幻方←5b d929918156774265865988071416735532646646889522545638707285871921360624471538693252961685052591724768390424951334023582899148305739417981132097293163454710129496783537694628111810077843643752734。