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切比雪夫多项式详细切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关,以递归方式定义的一系列正交多项式序列--chebyshev通常,第一类切比雪夫多项式以符号表示,第二类切比雪夫多项式用表示切比雪夫多项式或代表阶多项式tn un切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用这是因为第一类切比雪夫多项式的根tn unn(被称为切比雪夫节点)可以用于多项式插值相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象,并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近在微分方程的研究中,数学家提出切比雪夫微分方程和相应地,第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解这些方程是斯图姆刘维尔微分方程的特殊情形定义第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定-.也可以用母函数表示第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出此时母函数为从三角函数定义第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中,,,,是n=
0123.....弗公式),而从左边二项展开式可以看出实部中出现含从而可以表示成用显式来表示的幂的项中,是关于的次多项式,这个事实可以这么看的实部(参见棣美都是偶数次的,n尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数(),()以及他们的反函数,则有cos zcosh z类似,第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程在多项式环上的解(,见(),)因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出r[x]e.g.demeyer2007p.
70.归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出()()()()()()()()()证明的方式是在下列三角关系式中用代替t0x=1u1x=1tn+1x=xtn x1x2un1x un x()()()=xun1x+tn x x正交性xtn x1x2unx和都是区间,上的正交多项式系第一类切比雪夫多项式带权即tn un
[11].可先令()利用(())()便可证明类似地,第二类切比雪夫多项式带权x=cosθtn cosθ=cos nθ.即其正交化后形成的随机变量是半圆分布)基本性质对每个非负整数,()和()都为次多项式并且当为偶(奇)数wigner.时,它们是关于的偶(奇)函数,在写成关于的多项式时只有偶(奇)次项n tnx unx nn时,的最高次项系数为,时系数为xx最小零偏差tn2n1n=01对,在所有最高次项系数为的次多项式中,对零的偏差最小,即它是使得()在,上绝对值的最大值最小的多项式其绝对1n值的最大值f x
[11]为,分别在、及的其他个极值点上达到两类切比雪夫多项式间的关系-11f n1两类切比雪夫多项式间还有如下关系切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例,后者是雅可比多项式的特例切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出.例子前六个第一类切比雪夫多项式的图像,其中-1。