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立体几何直线平面垂
7.5直的判定与性质本课件将为大家介绍在立体几何中非常重要的一部分直线平面垂直的判定与性质通过学习此部分,您将提高解题效率,并深入了解立体几何定义平面和直线垂直是指它们的法向量垂直,在三维坐标系下,若向量和垂直,则内积为a b0()a•b=0判定方法法向量法1将直线或平面的解析式化为标准式,求出它们的法向量,再判断两个法向量是否垂直,若垂直,则直线或平面与另一个面或直线垂直点法式法2直线或平面方程有一个向量和一个点,求出向量在平面立方体表面上的一个过该点的向量,与平面法向量计算内积,若为,则直线或平面与另一个面或直线垂直0性质一等距离性质直线与平面垂直,则直线上的任意一点到平面的距离相等定义性质证明设平面为,直线为,点是上的一点,则到对于任意上的点,构造垂线⊥,则所p lA lA lA AD p AD平面的距离记为在的直线不垂直于,因此必然与相交,交p dA,p pADp点记为,则便是平面上的一条线段,且E AE同理,对于上其他任意一点,它AE=dA,p l们到平面的距离也都等于,因此性质得证AE性质二向量垂直性质直线与平面垂直,则直线上的任意一点到平面上任意一点的向量垂直于平面的法向量证明设平面法向量为,过直线上一点,过平面上一点且与直线平行的平面为n AP,交于,则是直线的平面垂直平面,因此直线方向向量于法向量Q PQB QQ n垂直,也就是所在的直线与垂直,因此向量垂直于,所以与也AB nBP nAP n垂直性质三方向垂直性质直线与平面垂直,则直线的方向向量与平面的法向量垂直证明设直线的方向向量为,平面的法向量为,必然存在使得×,即与共面,又由于直线与平面垂直,因v na v=a nv n此不与平面共面,进而必然垂直于v vn例题解析已知多面体的三点坐标,证明⊥ABCD-A’B’C’D’AC’BD’多面体线段交点性质证明ABCD-A’B’C’D’M、、已知线段的范围,求出的最后证明与平面垂直,A-1,0,0B1,0,0AC BDBD AC’D’、、参数式与两直线的交点即证明的方向向量与平面法C0,1,0D0,0,1A’-AB AC’BD、、为,从而得到和的斜向量垂直因为已经求得的1,0,2B’1,0,2M MC’BD’BD、率,求出的过点的参数式,参数式,所以求得的方向向C’0,1,2D’0,0,3BD’M BD然后证明这两条直线的斜率之积量的法向量可以简单计算AC’为得出证明得证-1总结本课程详细介绍了直线平面垂直的判定与性质,从定义开始,逐一阐述了判定方法、等距离性质、向量垂直性质、方向垂直性质等知识点,最后通过例题演练,帮助大家更加深入了解了这个重要的概念。