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《有理函数积分等》课件PPT探索有理函数积分的奥秘,了解有理函数的定义和分解原理,学习如何将多次因式的有理函数进行分式分解并进行积分计算,掌握等式变形技巧,训练积分练习题,达到熟练掌握有理函数积分知识的目标有理函数定义什么是有理函数?举例性质一种函数形式分子和分母例如有理函数的零点或使分母变都是多项式函数,其值域为,为,或使分子为且分母不$\frac{1}{5x^2+2x+3}$00有理数集合其中分子为常数函数,分为10母为二次多项式函数有理函数的分解为什么要分解1将一个有理函数分解成简单的分式,易于积分计算分解的方法2分解成型和型$ax+b$$\frac{mx+n}{px+q^k}$注意事项3不同于多项式函数的因式分解,有理函数的分解结果并不唯一部分分式分解原理因式类型对应的部分分式形式一次因式$\frac{A}{x-a}$不可约的二次因式或$\frac{Bx+C}{ax^2+bx+c}$$\frac{Ax+B}{px+q^k}$重根的二次因式$\frac{D}{x-a^k}+\frac{E}{x-a^{k-1}}+...+\frac{Z}{x-a}$一次及一次以上实根的部分分式分解一次实根重根将原式分解为分子为常数,分母为一次因根据原式的因式化形式,对应列举出一个式的形式一次因式形式的分母,将其分母乘到分子上,推导出分母为重根形式的分式一次因式与二次因式的部分分式分解一次因式1将一次因式形式的分母分解成一次整式和常数的形式,代入原分式得不可约二次因式2到对应的分式将二次因式形式的分母分解成二次整式的形式,设分式为,利重根二次因式$\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$3用待定系数法求解、A B推导方法与上一部分一致,只是分式形式变为$\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c^k}$类型举例简单有理函数新结构的模板函数积分形具体实例相对复杂的分式函数,要求可将其分解为一个多项式的$\frac{2x^2+3}{x^3-分母最高次的前后系数为,和式和比分母低一次的真分,由于分母的最高项12x+1}$分子的次数比分母低式的和式,化成简单常式的系数和常数项都为,故可1求法将其化为真分式$\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x^2+px+q}$和多项式$\frac{Cx+D}{x^3-的和的形式2x+1}$类型举例同时含有一次因式和二次因式的有理函数分式形式分子中有一次项和常数,分母由不可约因式或重根因式相乘组成积分计算方法利用分式分解,拆分为几个简单的分式,并利用等式变形来求解积分常数项不为的情况0积分基本形式方法一欧拉公式方法二部分分式分解使用欧拉公式,分解成基本型和完全平方型$\int\frac{fx}{ax+b^n}$t=ax+b$,其中为正整数或无穷,将有理函数积分转化为一次()的部分分式dx$n$ax^2+b$不等于有理函数积分和自然对数函积分a0数积分的结合形式积分分母为二次因式的情况一般式1,其中为正整数或无穷,不等于,$\int\frac{fx}{ax^2+bx+c^n}dx$n a0且为不可约二次因式$ax^2+bx+c$2n=1代入欧拉公式或使用三角代换大于等于的情况3n2使用递推公式将多项式一般式转化为比较简单的情况积分分母为一次因式的情况一般式,其中$\int\frac{fx}{ax+b^n}dx$$n\geq2$一次换元法设,积分化解成的形式,使用反函数法,将积分结果$ax+b=t$$\int\frac{gt}{t^n}dt$从转化回$t$$x$积分分母为多次因式的情况基本思路1利用多项式的因式分解,将分式化解成若干可以直接积分的真分式相加较复杂的情况2比如分式含有三次及以上的因式,可以使用部分分式分解思考题3对于如何快速得出多项式的因式分解,个人理解为纯属感性的领域,需要大量的计算实践和数学感觉等式变形四则变形公式重要性通俗易懂将一个数学等式进行变形,熟练掌握数学公式是个人成数学公式需要深厚的理论基包括加减、乘除、取幂等运长和职业发展的基础,有助础,但也有很多通俗易懂的算,是解决积分问题中不可于解决复杂问题和快速准确说明方式,冲破难点,前行!缺少的一步完成工作有理函数积分练习题练习题目覆盖了以上主题,共道题坚持切勿停息15习题讲解简单有理函数针对简单有理函数常见的积分形式进行操作演示,并介绍一些小技巧,加速解题速度习题讲解同时含有一次因式和二次因式的有理函数继续讲解,助力掌握习题讲解常数项不为的情况0继续讲解,助力掌握总结与提高总结本次课程所学内容,思考如何应用在实际中,提高自身数学素养。